アイヒラー・志村同型

アイヒラーコホモロジーについて

アイヒラーコホモロジー（Eichler cohomology）、または放物型コホモロジー（parabolic cohomology）、カスプコホモロジー（cuspidal cohomology）とは、フックス群（Fuchsian group）のコホモロジーを扱う数学の一分野です。この理論は、1957年にマーチン・アイヒラー（Martin Eichler）によって提唱され、主にディオファントス方程式や楕円曲線、モジュラー形式に関連して進められています。アイヒラーコホモロジーは、通常のコホモロジー群の中で、コンパクトな台を持つコホモロジーに類似した特性を持つ群コホモロジーの変形です。

アイヒラー・志村同型（Eichler–Shimura isomorphism）は、この理論において重要な役割を果たします。この同型は、複体のコホモロジーの視点からアイヒラーにより導入され、実コホモロジーに対しては志村（Shimura）によって1959年に発表されました。この同型は、アイヒラーコホモロジー群とカスプ形式の空間との間の同型写像を提供します。また、帰納文献（Gunning 1961）によれば、実数や複素数を係数として使用することができ、アイヒラーコホモロジーと従来の群コホモロジーの両方に適用可能です。

アイヒラーコホモロジー群の定義

アイヒラーコホモロジー群は、特定のフックス群 G とその表現 M を考慮します。このとき、アイヒラーコホモロジー群は以下のように定義されます：

%20%3D%20ker%28H^{1}(G,%20M)%20%5Cto%20%5Cprod_{c}%20H^{1}(G_{c},%20M)%29)

ここで、式中の H^1(G, M) は通常のコホモロジー群を指し、∏_{c} H^1(G_{c}, M) は G の基本領域にあるカスプ c を渡る積です。G_{c} はカスプ c を固定する部分群として定義されています。

志村同型の応用

アイヒラー・志村同型の変種には、通常の実コホモロジーの代わりに l-進コホモロジーを用いるものも存在します。これは、カスプ形式の係数と、これらの群上に作用するフロベニウス写像の固有値を関連付ける役割を果たします。この理論的枠組みを用いて、ピエール・デルイニュ（Pierre Deligne）は1971年に、ヴェイユ予想を証明する過程で、ラマヌジャン予想へと帰着させたという重要な成果を挙げました。

参考文献

本テーマについての更なる理解を深めるためには、以下の文献を参照すると良いでしょう：

• - Eichler, Martin (1957), “Eine Verallgemeinerung der Abelschen Integrale”, Mathematische Zeitschrift 67: 267–298.
• - Shimura, Goro (1959), “Sur les intégrales attachées aux formes automorphes”, Journal of the Mathematical Society of Japan 11: 291–311.
• - Gunning, Robert C. (1961), “The Eichler cohomology groups and automorphic forms”, Transactions of the American Mathematical Society 100: 44–62.

アイヒラーコホモロジーは、数学における深い問題を解析する手法として、多くの発展と応用が期待される分野です。

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