イプシロン数

イプシロン数とは

イプシロン数（またはエプシロン数）は、数学の中で特異な性質を持つ超限順序数の一種です。これらの数は、特定の定義により、その中で自身よりも小さな順序数の加算、乗算、冪乗を有限回行っても達成できないものとして特定されます。この特別な順序数は、数学的議論や証明において重要な役割を果たすため、特に注目されています。

定義と性質

イプシロン数は、次の数学的表現によって定義されます。もし

$$
α = ω^{α}
$$

である順序数αが存在する場合、このαをεγ（γは0から開始する整数）と呼び、これらの数を総称してイプシロン数としています。ここで、最小のイプシロン数がε0として知られており、これは次のように表されます：

$$
ε_0 = sup igg\{ ω, ω^{ω}, ω^{ω^{ω}}, ω^{ω^{ω^{ω}}}, ext{…} igg\}
$$

この式は、限りなく続く順序数の列の極限を示しています。

特に、ε0は次のように考えることができます：

$$
ε_0 = ω^{ε_0}
$$

これはカントールの標準形においても表現されます。興味深いことに、ε0は可算であり、非可算な順序数を用いれば、別の非可算なイプシロン数を得ることが可能です。

数学的証明における重要性

イプシロン数は、数理論理や証明論において非常に重要な位置を占めています。例えば、超限帰納法を用いる場合、多くのケースでε0までの実行が適用されるとされます。実際、ペアノ算術の無矛盾性を示すためのゲンツェンの証明や、グッドスタインの定理の証明においても、ε0が関与しています。

また、ゲンツェンの証明に基づいていますが、ペアノ算術ではε0の整礎性について証明することができません。このことから、ε0は証明論において最小の順序数であり、ペアノ算術の体系の強さを測る指標として用いられています。

歴史的背景

イプシロン数は、ドイツの数学者ゲオルク・カントールの業績によって紹介されました。カントールは、順序数の演算やその数学的性質について探求し、イプシロン数もその成果のひとつとして生まれました。

「イプシロン」という用語は、数の特定の特性を持つ順序数を指すために選ばれた名称であり、数学の中でのその地位を確立しています。イプシロン数の概念は、数学における超限数や順序数の理解を深める鍵となっています。

関連項目

• - 最小の超限順序数 ω
• - ヴェブレン階層およびヴェブレン関数
• - フェファーマン・シュッテの順序数（Γ0）

まとめ

イプシロン数は、超限順序数の中でも特に興味深い性質を持ち、数学的証明において不可欠な要素となっています。彼らの特異な定義と重要性は、数学の分野における深い理解を促進します。

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