ウェダーバーンの小定理

ウェダーバーンの小定理

ウェダーバーンの小定理（Wedderburn's little theorem）は、数学において非常に重要な位置を占める定理で、すべての有限域が体であることを示しています。この定理は、有限環における体や斜体の違いを無意味にし、数学の多くの分野における基礎的な性質を理解する手助けとなります。

定理の基礎

この定理は、特に有限単純交代環においても成り立ち、アルティン・ツォルンの定理によって次のように一般化されます。すべての有限単純交代環は体となるのです。この発見は、有限体の構造をより深く探求するための足掛かりを提供します。

歴史的背景

ウェダーバーンの小定理の初めての証明は1905年にジョセフ・ウェダーバーン自身によって行われました。彼は、その後に別の証明を2つ提案しました。一方、レナード・ユージン・ディクソンも同時期にこの定理を証明しており、ウェダーバーンの結果を認めました。しかし、ウェダーバーンの最初の証明には飛躍が含まれており、そのためディクソンの証明が正しいとされるようになりました。これを受けてパーシャルは、正しい証明の功績はディクソンにあると主張するまでに至りました。さらに、エルンスト・ヴィットによる簡潔な証明が提案され、定理の理解を促進しました。

証明と議論

定理の証明は、有限可除代数と中心との関係を利用したものです。まず、有限体のBrauer群が自明であることと同じであることが示されます。ここで、有限体kを考え、Herbrand商はその有限性から消失します。このため、Brauer群はH^1と一致し、これはヒルベルトの定理90に基づいて消滅します。

次に、有限域Aの各元に対して、特定の写像が単射であることが示され、それにより群論からAの非零元が乗法について群を形成することが導かれます。Aの中心Z(A)は体であり、有限次元のベクトル空間として扱うことができます。この構造により、n=1を示すことが目的となります。

中心に入らない元xに対し、そのcentralizerの位数を考える過程で、いくつかの群の性質を利用して論理的に結論が導かれます。ここでの重要な点は、もしnが1でない場合、特定の多項式の性質から矛盾が生じることで、最終的にnは1でなければならないと結論付けられる点です。

脚注と参考文献

ウェダーバーンの小定理は数多くの数学的文献に取り上げられており、特にパーシャルの1983年の論文では、ウェダーバーンとディクソンの業績について詳しく論じられています。他にも、ラームの『非可換環の初歩』などが関連資料として役立つでしょう。

このように、ウェダーバーンの小定理は数学の歴史の中で重要な役割を果たしており、その証明や関連する理論は、数学者たちの研究・探求の道標となっています。

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