ウォリス積

ウォリス積（ウォリスの公式）

数学におけるウォリス積とは、ある特定の形の無限乗積が円周率（π）の半分である $\\frac{\\pi}{2}$ に収束するという重要な結果です。これは発見者の名にちなんで「ウォリスの公式」とも呼ばれています。この公式は、自然数 $n$ を1から順に増やしていくときに得られる項

$$ \\frac{2n}{2n-1} \\cdot \\frac{2n}{2n+1} $$

を無限に掛け合わせたものです。具体的に最初のいくつかの項を書き出すと、

$$ \\left(\\frac{2}{1} \\cdot \\frac{2}{3}\\right) \\cdot \\left(\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{4}{5}\\right) \\cdot \\left(\\frac{6}{5} \\cdot \\frac{6}{7}\\right) \\cdot \\left(\\frac{8}{7} \\cdot \\frac{8}{9}\\right) \\cdots $$

となり、これが $\\frac{\\pi}{2}$ と等しくなることを主張しています。

ウォリスの公式は、いくつかの異なる数学的手法を用いて証明できます。古典的な方法の一つは、特定の定積分であるウォリス積分の漸化式を利用し、その極限を評価することによって導くものです。また、複素関数論の枠組みから、三角関数 $\\sin x$ の無限乗積展開を用いる方法も知られています。

特に、関数 $\\frac{\\sin \\pi z}{\\pi z}$ の持つ美しい無限乗積表示

$$ \\frac{\\sin \\pi z}{\\pi z} = \\prod_{n=1}^{\\infty} \\left(1 - \\frac{z^2}{n^2}\\right) $$

を利用した導出は簡明です。この式の両辺の逆数を考えると、

$$ \\frac{\\pi z}{\\sin \\pi z} = \\prod_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{1 - \\frac{z^2}{n^2}} = \\prod_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2}{n^2 - z^2} $$

となります。ここで、$z$ に特定の値を代入することで、ウォリス積が現れます。$z = \\frac{1}{2}$ をこの式に代入してみましょう。

左辺は $\\frac{\\pi \\cdot \\frac{1}{2}}{\\sin (\\frac{\\pi}{2})} = \\frac{\\frac{\\pi}{2}}{1} = \\frac{\\pi}{2}$ となります。
右辺は

$$ \\prod_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2}{n^2 - \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2} = \\prod_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2}{n^2 - \\frac{1}{4}} $$

ここで、分母に注目すると $n^2 - \\frac{1}{4} = \\frac{4n^2 - 1}{4}$ と変形できます。したがって右辺は

$$ \\prod_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2}{\\frac{4n^2 - 1}{4}} = \\prod_{n=1}^{\\infty} \\frac{4n^2}{4n^2 - 1} $$

さらに、分母は差の平方として $4n^2 - 1 = (2n)^2 - 1^2 = (2n - 1)(2n + 1)$ と因数分解できるため、最終的に右辺は

$$ \\prod_{n=1}^{\\infty} \\frac{(2n)^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \\prod_{n=1}^{\\infty} \\left( \\frac{2n}{2n - 1} \\cdot \\frac{2n}{2n + 1} \\right) $$

となります。これはウォリス積の定義式そのものです。このように、複素関数としての三角関数の性質から、ウォリス積が $\\frac{\\pi}{2}$ に等しいことが導かれます。

このウォリスの公式は、円周率の計算に利用できる無限積の一つですが、実際に数値計算を行う際にはあまり効率的ではありません。積の項を増やしていくにつれて値は徐々に $\\frac{\\pi}{2}$ に近づきますが、その収束の速度は非常に遅く、高い精度を得るには膨大な数の項を計算する必要があります。そのため、現代では円周率の計算にはより高速に収束する他のアルゴリズムが主に用いられています。

ウォリス積は、17世紀のイギリスの数学者ジョン・ウォリス（John Wallis）によって発見されました。彼の研究は、無限級数や無限積、そしてその後の微積分学の発展に重要な貢献をしました。ウォリス積やそれに関連するウォリス積分は、スターリングの近似など、他の数学的な結果とも深く関連しています。

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