エルデシュ・モーデルの不等式

エルデシュ・モーデルの不等式とは

エルデシュ・モーデルの不等式（Erdős–Mordell inequality）は、ユークリッド幾何学における三角形の重要な性質を示す定理です。この不等式は、三角形の内部に任意の点をとったとき、その点から三角形の各頂点までの距離の和と、その点から各辺までの距離（最短距離、すなわち垂線の長さ）の和との間に成り立つ関係を示しています。

具体的には、「三角形の内部にある点から各頂点への距離の合計は、その点から各辺への距離の合計の2倍以上になる」というものです。この定理は、ハンガリーの数学者ポール・エルデシュとイギリスの数学者ルイス・モーデルにちなんで名付けられました。

主張

三角形ABCとその内部にある点Pを考えます。

点Pから各頂点A, B, Cまでの距離をそれぞれ p, q, r とします。
点Pから各辺BC, CA, ABまでの距離（辺に下ろした垂線の長さ）をそれぞれ x, y, z とします。

エルデシュ・モーデルの不等式は、このとき以下の関係が常に成り立つことを主張します。

`p + q + r >= 2(x + y + z)`

この不等式は、点Pが三角形の中心に近いほど、頂点と辺への距離の比が一定の値に近づく、といった幾何学的な性質を示唆しています。

歴史

この不等式の歴史は、ポール・エルデシュが1935年に数学雑誌『アメリカン・マセマティカル・マンスリー』で一つの問題として提起したことに始まります。その後、ルイス・モーデルとD. F. バローが1937年に最初の証明を与えました。彼らの証明は、定理の主張自体は初等的であるにも関わらず、必ずしも容易ではないとされていました。

その後、より簡潔で理解しやすい異なる証明方法がいくつか発見されました。例えば、D. K. Kazarinoff (1957年)、Leon Bankoff (1958年)、そしてClaudi AlsinaとRoger B. Nelsen (2007年)らによって、視覚的な証明を含む、より単純な証明が発表されています。これらの新しい証明の発見は、この不等式が持つ数学的な魅力と関心の高さを物語っています。

証明の概要

エルデシュ・モーデルの不等式の証明には複数の手法が存在しますが、一般的なアプローチの一つを紹介します。この証明では、三角形の辺の長さと点からの距離の関係に基づいています。

三角形ABCの辺BC, CA, ABの長さをそれぞれ a, b, c とし、点Pから各頂点への距離を p, q, r、各辺への垂線の長さを x, y, z とします。

証明の鍵となるのは、`cr >= ax + by` のような形の補助的な不等式を示すことです。これは、三角形の面積の関係や点Pを特定の線に対して鏡映させた点との関係を利用して導かれます。同様に、他の辺と頂点の組み合わせに対しても `ap >= bz + cy` や `bq >= cx + az` といった不等式が成り立ちます。

これらの補助不等式をそれぞれ p, q, r について解く形に変形します。
`r >= (a/c)y + (b/c)x`
`p >= (b/a)z + (c/a)y`
`q >= (a/b)z + (c/b)x`

これらの3つの不等式を全て加算すると、左辺は `p + q + r` となり、右辺は `x, y, z` を含む項の和になります。

`p + q + r >= ((b/c)+(c/b))x + ((a/c)+(c/a))y + ((a/b)+(b/a))z`

ここで、正の数に対する相加相乗平均の関係式（例えば `A + B >= 2sqrt(AB)`）を利用します。この関係式から、`(b/c) + (c/b) >= 2`、`(a/c) + (c/a) >= 2`、`(a/b) + (b/a) >= 2` が成り立ちます。

これらの結果を先の不等式の右辺に適用することで、

`p + q + r >= 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)`

というエルデシュ・モーデルの不等式が導出されます。

この不等式において等号が成立するのは、元の三角形ABCが正三角形であり、かつ点Pがその重心である場合に限られます。

関連する不等式と発展

エルデシュ・モーデルの不等式は、三角形に関する他の様々な不等式と関連があり、また、それ自体がさらに強力な不等式の一部となっています。

その中でも特筆すべきはバローの不等式です。バローの不等式は、点Pから辺への垂線の長さ（エルデシュ・モーデルの不等式で使われる距離）ではなく、点Pから各角の二等分線と対応する辺との交点までの距離に関するものであり、エルデシュ・モーデルの不等式を包含する、より一般的な結果です。

さらに近年では、外接円に対する垂線を用いるなど、異なる視点からのより強い不等式も研究されています。

一般化と非ユークリッド幾何学での成立

エルデシュ・モーデルの不等式は、三角形（n=3の多角形）に限定されず、一般的な凸n角形に対しても拡張が可能です。Hans-Christof Lenhard (1961年)によって示された一般化された不等式は、点Pから各頂点への距離の和と、点Pから各辺への距離（または角の二等分線上にある点との距離）の和の間に、nに依存する係数 `sec(π/n)` を含む関係が成り立つことを示しています。

また、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たない絶対幾何学の枠組みにおいても、エルデシュ・モーデルの不等式が成立することが知られています (Pambuccian 2008年)。ただし、絶対幾何学における三角形の内角の和に関する性質などを考慮に入れる必要があります。

結び

エルデシュ・モーデルの不等式は、そのシンプルながらも奥深い内容から、多くの数学者の関心を引きつけてきました。その歴史はエルデシュの問題提起に始まり、様々な証明法や一般化、関連する他の不等式との繋がりなど、現在に至るまで研究が進められています。この不等式は、ヴィヴィアーニの定理やカルノーの定理といった、三角形と点に関する他の幾何学的定理とも密接に関連しており、幾何学における基本的な関係性を示す例として重要な位置を占めています。

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