カタストロフィー理論

カタストロフィー理論

カタストロフィー理論とは、フランスの数学者ルネ・トムが提唱した数学的な理論体系です。この理論は、生物の形態形成や言語構造といった多様な自然現象や社会現象において観察される、システムの構造的な安定性とその後の急激で不連続な変化（これを「カタストロフ」と呼びます）を統一的に理解し、モデル化しようとする試みです。力学系の考え方を基礎に置いています。

不連続な挙動を数学的に説明できる革新的な枠組みとして、特に提唱された当初は日本でも大きな注目を集め、一部では「ニュートンの古典力学やウィーナーのサイバネティクスに匹敵する革命」と評されるほど、活発な研究と議論が行われました。

理論の基礎

カタストロフィー理論のルーツは、1950年代にアメリカの数学者ハスラー・ホイットニーが展開した特異点理論にあります。ホイットニーは1955年の論文で、平面から平面への滑らかな写像は、微小な変形によって、その特異点を「折り目（fold）」と「ひだ（カスプ、cusp）」だけにする、という画期的な定理を証明しました。

$$V=x^3 + ax$$
(折り目・カタストロフの潜在関数)

この特異点理論は、微分幾何学、代数幾何学、トポロジーといった数学の抽象的な分野と、力学系の安定性理論、平衡点の分岐理論、幾何光学などの応用数学分野を結びつける要となりました。1970年代に入り、ルネ・トムは生物学的な形態形成プロセスを数学的に記述する方法を探求する中で、特異点理論を中心としたこれらの関連分野全体を包括する概念として、「カタストロフ理論（catastrophe theory）」という名称を提案したのです。

7つの基本カタストロフ

カタストロフィー理論の中心的な概念の一つは、現象を記述する「潜在関数（potential function）」の特異点の構造を分類することです。最も単純な構造を持つものとして、ルネ・トムは最大で4つの制御パラメータを持つ系の特異点を7種類に分類しました。これらは「初等カタストロフ（Elementary Catastrophes）」とも呼ばれ、現象の不連続な変化を記述する基本的なパターンを示します。

1. 折り目・カタストロフ (Fold catastrophe)
最も単純なカタストロフで、1つの状態変数と1つの制御パラメータ `a` を持ちます。潜在関数は $$V=x^3 + ax$$ で表されます。パラメータ `a` が変化するにつれて、システムの安定な状態が突然失われ、別の状態へジャンプする現象を記述します。この臨界点は「ティッピングポイント」とも呼ばれます。

2. カスプ・カタストロフ (Cusp catastrophe)
2つの制御パラメータ `a` と `b` を持つ、より複雑なカタストロフです。潜在関数は $$V=x^4 + ax^2 + bx$$ で表されます。制御パラメータ空間 (a, b) において、分岐点の集合がカスプ（尖点）の形状を描きます。このカスプの内側の領域では、複数の安定状態が存在し、パラメータのわずかな変化によってシステムが一方の安定状態からもう一方へ急激に遷移する現象（ジャンプやヒステリシス）が見られます。応用例としては、ストレスを受けた犬の行動モデル、物理的なゼーマン・カタストロフ・マシン、構造物の破壊、さらには不動産価格の変動予測など、幅広い分野で提案されています。

3. ツバメの尾・カタストロフ (Swallowtail catastrophe)
3つの制御パラメータ `a`, `b`, `c` を持ち、潜在関数は $$V=x^5 + ax^3 + bx^2 + cx$$ です。制御パラメータ空間における分岐集合がツバメの尾のような特徴的な形状を示します。この点では複数の安定状態が同時に消滅する、より複雑な分岐が起こります。サルバドール・ダリの最後の作品の一つが、このカタストロフをモチーフにしています。

4. 蝶・カタストロフ (Butterfly catastrophe)
4つの制御パラメータ `a`, `b`, `c`, `d` を持ち、潜在関数は $$V=x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$$ です。これはさらに多くの安定状態の可能性を含み、制御パラメータ空間における分岐集合はより複雑な形状を示します。

上記の4つは1つの状態変数 `x` を持つカタストロフです。残りの3つは2つの状態変数 `x` と `y` を持つ「臍（へそ）・カタストロフ」と呼ばれるタイプです。

5. 双曲的臍・カタストロフ (Hyperbolic umbilic catastrophe)
潜在関数は $$V=x^3 + y^3 + axy + bx + cy$$ です。

6. 楕円的臍・カタストロフ (Elliptic umbilic catastrophe)
潜在関数は $$V=rac{x^3}{3}-xy^2+a(x^2+y^2)+bx+cy$$ です。

7. 放物的臍・カタストロフ (Parabolic umbilic catastrophe)
潜在関数は $$V=x^2y+y^4+ax^2+by^2+cx+dy$$ です。

これら7つの基本カタストロフ、特に折り目とカスプは、様々な分野で観察される不連続現象を理解し、モデル化するための強力なツールとなっています。物理学における相転移、工学における構造破壊、生物学における細胞分化、さらには経済学や社会学における急激な変化など、幅広い現象に適用される可能性があります。特に天文学においては、重力レンズ効果による遠方天体の像の生成メカニズムを説明するためにもカスプ・カタストロフが用いられています。

カタストロフィー理論は、系のパラメータが滑らかに変化しても、システムの応答が突然、質的に異なる状態へジャンプするという現象に数学的な厳密性を与えた点で重要です。関連する概念として、系のわずかな初期条件の違いが将来の状態に大きく影響する「カオス理論」がありますが、カタストロフィー理論は、複数の安定状態が存在する系における「突然の切り替わり」という側面に焦点を当てています。

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