カラテオドリの定理 (凸包)

カラテオドリの定理

カラテオドリの定理は、凸幾何学の基礎を成す定理であり、特に点と凸包の関係について重要な知見を提供します。この定理は1911年にコンスタンティン・カラテオドリによって提唱され、最初はコンパクトな集合に対して証明されました。その後、1914年にはエルンスト・スタイニッツが、任意の集合に拡張しました。

定理の内容

カラテオドリの定理によれば、d次元空間である extbf{R}^d内のある点xが、集合Pの凸包に属するならば、d+1個以下の点からなるPの部分集合P′が存在し、xはそのP′の凸包の中に含まれます。これは、P内の特定の点によってxを囲む形で構成できることを意味しています。

具体的な例として、2次元空間 extbf{R}^2内において、点の集合P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}と考えます。この場合、Pの凸包は正方形になります。ここで、点x = (1/4, 1/4)を選ぶと、この点は正方形内に含まれます。この点を囲むように三角形を形成する部分集合P′ = {(0,0), (0,1), (1,0)}を選ぶと、xはP′の凸包に含まれるため、定理が成立する一例となります。特に2次元の場合、このようにP内の点によって構成される三角形を用いることで、カラテオドリの定理をビジュアルで理解する手助けとなります。

証明の概要

定理の証明は、点xがPの凸包に属しているという前提から始まります。この時、xはP内の有限個の点の凸結合として表されます。

egin{align*}
x = ext{Sum} (λ_j imes x_j),
ext{where } j = 1,
ightarrow k
ext{and } λ_j ext{ are non-negative with } ext{Sum} (λ_j) = 1.
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\ ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
\}

この式は、xが高々k-1個の点の凸結合として表されることを示しています。この過程を繰り返すことで、xは高々d+1個のPの点の凸結合として表現することができます。また、別の証明方法として、ヘリーの定理が利用されることもあります。

参考文献

• - Carathéodory, C. (1911), "Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 32: 193–217.
• - Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), "Helly's theorem and its relatives", Convexity, Proc. Symp. Pure Math., 7, American Mathematical Society.
• - Eckhoff, J. (1993), "Helly, Radon, and Carathéodory type theorems", Handbook of Convex Geometry.
• - Steinitz, Ernst (1913), "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme", J. Reine Angew. Math. 143 (143): 128–175.

もう一度検索