ギバード＝サタースウェイトの定理

ギバード＝サタースウェイトの定理とは

ギバード＝サタースウェイトの定理は、社会選択理論における重要な結果の一つであり、3つ以上の選択肢から投票によって社会的な選好を決定する際に、以下の3つの条件を同時に満たす社会選択ルールは、独裁制しかないことを主張します。

1. 非排除性（特定候補の排除がないこと）: いかなる投票結果においても、当選する可能性のある候補者が存在すること。
2. 耐戦略性（戦略的操作を受けないこと）: 投票者が自身の真の選好を偽って表明することで、より有利な結果を得ようとする動機を持たないこと。
3. 非独裁性: 特定の個人（独裁者）の選好が、他の全ての投票者の選好に関わらず、社会の決定を決定するようなルールではないこと。

この定理は、アラン・ギバードとマーク・サタースウェイトによって独立に証明されました。

定理の意味

この定理が示す重要な点は、民主的な投票制度において、常に全ての参加者が正直に投票するとは限らないということです。参加者は、自分の投票行動が結果に影響を与えないと感じた場合や、より良い結果を得るために、戦略的に投票を行う可能性があります。この戦略的な投票は、社会全体の厚生を損なう可能性があります。

具体的には、複数の候補者がいる選挙において、ある投票者は自分の最も好む候補が当選する見込みがないと判断した場合、次善の候補に投票することがあります。これは、自分の票を「死票」にしないための合理的な行動ですが、結果として、社会全体の選好を正確に反映しない可能性があります。

具体例

例えば、A、B、Cの3人の候補者がいる選挙を考えてみましょう。ある投票者は、Aを最も好み、次にB、そしてCを最も嫌うとします。しかし、Aが当選する見込みが低い場合、その投票者はBに投票するかもしれません。なぜなら、Cが当選するのを阻止したいからです。このような戦略的な投票が広まると、選挙結果は本来の社会的な選好とは異なるものになる可能性があります。

独裁制との関係

ギバード＝サタースウェイトの定理は、非排除性、耐戦略性、非独裁性の3つの条件を同時に満たす社会選択ルールは存在しないことを示しています。つまり、これらの条件のうち少なくとも1つを放棄しなければなりません。独裁制は、非排除性を満たしますが、耐戦略性と非独裁性を満たしません。なぜなら、独裁者は自分の選好を常に優先できるため、戦略的な投票を行う必要がないからです。

投票メカニズムへの影響

この定理は、現実の投票メカニズムの設計において、重要な示唆を与えます。完全な耐戦略性を実現することは難しいことを理解した上で、戦略的な投票の影響を最小限に抑えるようなメカニズムを設計する必要があります。例えば、以下の様なアプローチが考えられます。

正直な投票を促すインセンティブ設計: 投票者が正直に投票することが、自身にとっても有利になるような仕組みを導入する。
戦略的な投票が困難なメカニズム: 投票者が戦略的な投票を行おうとしても、結果を予測したり操作したりすることが難しいような仕組みを設計する。
情報公開: 各候補者の支持率などの情報を公開することで、投票者がより合理的な判断を下せるようにする。

まとめ

ギバード＝サタースウェイトの定理は、投票による社会的意思決定の難しさを示すものであり、完璧な投票制度は存在しないことを教えてくれます。しかし、この定理を理解することで、より良い投票メカニズムを設計し、社会全体の厚生を向上させることが可能になります。

参考文献

アラン・ギバード (1973) "Manipulation of Voting Schemes: A General Result". Econometrica, 41 (4): 587–601.
マーク・サタースウェイト (1975) "Strategy-proofness and Arrow's Conditions: Existence and Correspondence Theorems for Voting Procedures and Social Welfare Functions". Journal of Economic Theory. 10 (2): 187–217.

関連項目

戦略投票
* メカニズムデザイン

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