クラメルの公式

クラメルの法則：線形方程式系の解法公式

クラメルの法則は、線形方程式系の解を、行列式を用いて明示的に表す公式です。未知数の数と方程式の数が等しく、一意解を持つ線形方程式系に対して有効です。この法則は、方程式の解を、係数行列とその列ベクトルを方程式の右辺ベクトルで置き換えた行列の行列式によって表現します。

定義

n個の変数を持つn個の一次方程式からなる線形方程式系を考えます。


Ax = b


ここで、Aはn×nの係数行列、xはn×1の変数ベクトル、bはn×1の右辺ベクトルです。係数行列Aが正則（逆行列を持つ、つまりdet(A)≠0）であると仮定します。

クラメルの法則によると、この方程式系の解xの各成分xiは以下のように表されます。


xi = det(Ai) / det(A)


ここで、Aiは行列Aの第i列をベクトルbで置き換えた行列です。

例

2元連立方程式:


1x1 + 2x2 = 3
4x1 + 5x2 = 6


この場合、


A = 1, 2], [4, 5, b = 3], [6


となり、クラメルの法則を用いて解x1, x2を求めることができます。

3元連立方程式:

同様にして、3元以上の連立方程式にもクラメルの法則を適用できます。ただし、行列式の計算が複雑になるため、高次元の連立方程式では他の解法（ガウスの消去法など）の方が効率的です。

歴史

クラメルの法則は、1750年にガブリエル・クラメルによって発表されました。クラメルは、行列式という概念が確立される前に、この法則を多項式を用いて表現していました。その後、コーシーによって現代的な行列式を用いた表記が導入されました。ライプニッツもクラメルの法則を予見していた可能性がありますが、その成果は後に発見されたため、クラメルの法則として知られています。

計算量

クラメルの法則では、n元連立方程式を解くためにn+1個の行列式を計算する必要があります。行列式の計算には大きな計算量が必要となるため、高次元の線形方程式系では、ガウスの消去法などの他の解法よりも計算効率が劣ります。

証明の概略

クラメルの法則の証明は、行列の性質と行列式の性質を用いて行われます。行列式に関する基本的な性質（例えば、行列式は列ベクトルの線形結合で表現できる）を利用することで、xi = det(Ai) / det(A) が導出されます。

応用

クラメルの法則は、線形方程式系の解法だけでなく、以下の分野でも応用されます。

逆行列の計算: 逆行列は、クラメルの法則を用いて計算できます。
斉次方程式系の解法: 斉次方程式系(b = 0)の解は、クラメルの法則によって容易に求めることができます。
微分幾何学: 陰関数定理を用いた偏微分の計算に利用できます。
整数計画法: 完全単模行列を持つ整数計画問題の解法に役立ちます。
* 常微分方程式: 非斉次線型微分方程式の解法(定数変化法)において使用できます。

限界

クラメルの法則は、係数行列Aが正則である場合にのみ適用できます。係数行列の行列式が0の場合、方程式系は解を持たない(不能)か、無限個の解を持つ(不定)可能性があり、クラメルの法則は使用できません。

まとめ

クラメルの法則は、線形方程式系を解くための有用な公式ですが、計算量の問題から高次元の問題には必ずしも適していません。低次元の線形方程式系や、特定の条件を満たす問題に対しては、簡潔で分かりやすい解法を提供します。様々な分野で応用されており、線形代数の重要な概念の一つです。

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