クリーク (グラフ理論)

グラフ理論とクリークの概念

グラフの基本要素

グラフ理論は、数学と計算機科学の重要な分野であり、無向グラフはその基本的な構成要素です。無向グラフは、頂点（ノード）と、それらを結ぶ辺（エッジ）で構成されます。ある無向グラフをGとし、頂点の集合をV、辺の集合をEと表すことができます。

クリークとは何か

無向グラフにおけるクリークとは、特定の頂点の部分集合Cにおいて、Cに含まれる任意の2つの頂点間に辺が存在することを指します。言い換えれば、Cから誘導される部分グラフが完全グラフであることを示しています。この場合、すべての頂点が互いに接続されているという性質を持っています。特に、頂点の集まりではなく、そのような接続状態にある部分グラフ自体をクリークと称することもあります。

クリークには、頂点の集合とそれを形成する辺が必然的に関連しており、より大きなグラフの中でその存在を確認することが重要です。ただし、強調すべき点として、部分グラフが最大の完全部分グラフである場合のみを「クリーク」とすることがあります。このように、クリークとその大きさを適切に理解することは、グラフ理論の研究において重要です。

クリーク問題

クリーク問題は、与えられたグラフの中に指定された大きさのクリークが存在するかを求める問題です。この問題はNP完全であり、計算機科学における難解な問題の一つとされています。この特定の問題の特殊なバージョンが最大クリーク問題であり、こちらもその計算が難しいことで知られています。

独立集合との関係

クリークの逆の概念として独立集合があり、これは任意の2つの頂点が辺で接続されていない部分集合を指します。興味深いことに、クリークは補グラフの独立集合と必ず対応関係にあります。グラフ理論において、これらの概念は非常に密接に結びついています。

名称の由来

「クリーク」という用語は、頂点を人、辺を「知っている」という関係で考えたとき、すべての人が互いに知り合いであることを表すものとされます。したがって、クリークは派閥や徒党としてのイメージを持つことになります。

最大クリークの重要性

グラフGにおける最大クリークは、理論的に重要な要素であり、しばしばω(G)という記号で表されます。これは、グラフ内に存在する最大のクリークの大きさを示しています。

n-クリークの定義

グラフGの部分グラフCがn-クリークであるとは、Cに属するすべての頂点対の道の長さがn以下であることを意味します。通常のクリークは1-クリークとして考えられます。このように、n-クリークは通常のクリークの定義を一般化したものです。

結論

グラフ理論におけるクリークの理解は、さまざまな応用や関連問題の探索に不可欠です。クリークの性質、関連する問題、さらにその計算的な困難さは、研究者や実践者にとって重要なテーマとなっています。

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