グロタンディーク位相

グロタンディーク位相の概念

グロタンディーク位相（英: Grothendieck topology）とは、位相空間上の開集合に関する性質を公理的に定義し、圏の上に適用することで得られる一般化された位相のことです。この位相を持つ圏のことをサイト（フランス語および英語で言うところのsite）と呼びます。

この概念は特に代数幾何学において重要であり、アレクサンドル・グロタンディークがエタール・コホモロジーを定義する際に用いたことで広まりました。グロタンディーク位相を用いることで、位相空間上での層に関する理論が適用可能となり、これによりコホモロジー理論を構築することが可能になります。

定義

グロタンディーク位相は、ファイバー積を持つ圏Cに対して、各対象Sに対する被覆（covering）と呼ばれる射の族を定義することから始まります。具体的には、次のような形の射の集まり

$$
\{ \phi_{i}: T_{i} \rightarrow S \}_{i \in I}
$$

が満たす公理に基づいて定義されます。このように定義された圏Cに位相が設定されることで、Cはサイトとして知られる構造を持つことになります。

さらに、同型射である

$$
\phi: T \rightarrow S
$$

もSの被覆と見なされます。もしある射がSの被覆を形成する場合、他の任意の射から誘導される射の集合も、Sに対する被覆となります。これにより、圏内の構造が進められます。

具体的な例

エタールサイト

スキームXに対して、(Et/X)をX上のエタールなスキームから構成する圏とします。この場合、エタール射の族を被覆と定義することでエタールサイトが形成され、これが(Et/X)として再表されます。ここでは、エタール位相と呼ばれる特定の位相が設定されます。

ザリスキサイト

同様に、通常のザリスキ位相に基づいて開埋め込みの族を被覆とすることにより、ザリスキサイトが得られます。これはXZarとして表現され、通常のザリスキ位相はグロタンディーク位相によって再定義されます。

応用

グロタンディーク位相の最大の利点は、開集合を被覆の役割に置き換えることで、層の理論を少しも変えずに展開できる点です。その結果、エタール景、ザリスキ景、クリスタリン景上における各種コホモロジー理論、例えばエタール・コホモロジーやザリスキ・コホモロジーなどが確立されます。ただし、異なるグロタンディーク位相が常に異なるコホモロジー理論を生成するわけではありません。これに関してはグロタンディークの篩という考え方があり、この概念は彼のトポス理論によりさらに補完されています。これによりより深い理解と応用が可能となります。

このように、グロタンディーク位相は代数幾何学や層の理論において非常に重要な役割を果たしており、数学の多くの側面に影響を与えています。

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