ケーラー・アインシュタイン計量

定義と重要性

微分幾何学、特に複素多様体の研究において、ケーラー・アインシュタイン計量は極めて重要な概念です。これは、複素多様体上に定義されるリーマン計量であり、「ケーラー計量」と「アインシュタイン計量」という二つの特別な性質を併せ持ちます。この計量を備えている多様体をケーラー・アインシュタイン多様体と呼びます。

ケーラー計量は、複素構造とリーマン計量が整合的であるような計量で、複素多様体の幾何学の基礎を成します。一方、アインシュタイン計量は、そのリッチ曲率が計量自身に比例する計量であり、物理学にも関連します。ケーラー・アインシュタイン計量は、これらが組み合わさった豊かな幾何学的構造を持ちます。

この計量を持つ多様体の中で、特に注目されるのがカラビ・ヤウ多様体です。これはケーラー計量であり、かつリッチ曲率がゼロ（リッチ平坦）である多様体を指します。これはアインシュタイン計量の特別な場合であり、ケーラー・アインシュタイン多様体の一種です。カラビ・ヤウ多様体は、現代物理学、例えば超弦理論などにおいても重要な役割を担っています。

存在問題の歴史と展開

微分幾何学における長年の主要な問題の一つは、コンパクトなケーラー多様体の上にケーラー・アインシュタイン計量が常に存在するのか、あるいは存在するための条件は何であるか、という問題でした。

ケーラー計量を持つ多様体では、そのリッチ曲率が計量自身に比例するという性質があり、これは多様体の位相的な性質である第一チャーン類と深く結びついています。リッチ曲率と計量の比例定数の符号は、第一チャーン類の符号と一致します。このため、ケーラー・アインシュタイン計量の存在問題は、第一チャーン類が負、ゼロ、正の三つのケースに分けて考察が進められました。

第一チャーン類が負の場合については、リチャード・オーバン（Richard Aubin）とシン＝トゥン・ヤウ（Shing-Tung Yau）が、この条件下では常にケーラー・アインシュタイン計量が存在することを証明しました。

第一チャーン類がゼロの場合、これは「カラビ予想」として知られていました。シン＝トゥン・ヤウは、解析学の手法を駆使してこのカラビ予想を完全に解決し、第一チャーン類がゼロのコンパクトケーラー多様体には常にリッチ平坦なケーラー計量（リッチ曲率ゼロのケーラー・アインシュタイン計量）が存在することを証明しました。この業績により、ヤウは数学の最高栄誉であるフィールズ賞を受賞しました。カラビ・ヤウ多様体という名称は、このカラビ予想の解決にヤウが貢献したことに由来します。

第一チャーン類が正の場合の解決

三つのケースの中で、最も解決が困難とされてきたのが第一チャーン類が正の場合です。このような多様体はファノ多様体とも呼ばれます。このケースでは、計量の存在を妨げるような非自明な幾何学的または代数的な障害が存在することが知られていました。

この困難な問題に、2012年に大きな進展がありました。ジーウェイ・チェン（Xiuxiong Chen）、サイモン・ドナルドソン（Simon Donaldson）、ソン・スン（Song Sun）の三人の数学者は、第一チャーン類が正のコンパクトケーラー多様体の上にケーラー・アインシュタイン計量が存在することと、その多様体が「K-安定性」と呼ばれる代数幾何学的なある種の安定性条件を満たすことが、互いに同値であることを証明しました。これは、幾何学的な存在問題を代数幾何学的な安定性の問題と結びつける画期的な成果となり、新たな研究の道が開かれました。彼らの証明は、アメリカ数学会誌（Journal of the American Mathematical Society）に掲載された一連の論文として発表され、数学界に大きな影響を与えました。

ケーラー・アインシュタイン計量の研究は、このように微分幾何学、代数幾何学、数理物理学など、現代数学の多くの分野が交錯する活発な研究領域であり続けています。

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