ゲーデル解

ゲーデル解

ゲーデル解（Gödel solution）は、アルベルト・アインシュタインが提唱した一般相対性理論において、重力場を記述するアインシュタイン方程式の数ある厳密解のうちの一つです。この解は、数学者で論理学者のクルト・ゲーデルによって1949年に発表されました。

特徴と前提

この解は、宇宙を満たす物質として、一様に分布しつつ全体として回転しているダスト粒子を仮定し、さらにゼロではない「宇宙項」が存在するという特殊な状況を設定することで導き出されます。モデルとしてはやや人工的な側面を持つものの、物理学的に許容される範囲内の設定に基づいています。特筆すべき点として、ゲーデル解が示す時空には、ブラックホールの中心のような重力特異点が存在しません。

時空の奇妙な性質：回転と時間的閉曲線

ゲーデル解の最大の特徴は、その時空構造が全体として回転しているかのように振る舞う点にあります。このような回転時空では、中心から十分に離れた領域において、局所的な回転速度が光速を超えるとされる場所が現れます。この領域では、理論上、「時間的閉曲線（CTC：Closed Timelike Curve）」と呼ばれるものが存在可能となります。

時間的閉曲線が存在するということは、文字通り時間を遡ることが可能になる、つまりタイムトラベルが理論的に許容されることを意味します。これは、宇宙の歴史が周期的に繰り返されるかのように見えたり、因果律（原因と結果の関係）が破綻したりする可能性を示唆します。通常、私たちが直感的に理解する「過去から未来へ時間が一方的に流れる」という時間の概念が、この時空においては成り立たず、「過去」と「未来」の区別が局所的な範囲でしか意味を持たなくなるのです。

哲学的意義

ゲーデル自身は、この時間的閉曲線の存在に物理的な意味合いだけでなく、深い哲学的意義を見出していました。彼は、この解が示すように、宇宙の物理法則（アインシュタイン方程式）が必ずしも私たちが日常的に経験する、時間が一方的に流れるという直感的な時間の概念（「現在主義」、presentismと呼ばれる哲学的な立場）と一致しないことを証明できたと考えました。ゲーデルは、自身の不完全性定理が、人間の直観的な数学的真理を形式的な公理系だけでは完全に捉えきれないことを示したのと同様に、物理学においても直観が及ばない世界が存在することを示唆したかったのかもしれません。

アインシュタイン自身もこの解についてコメントを残しており、時間的閉曲線が存在する宇宙では、特定の出来事が別の出来事よりも「早く」起きたのか「遅く」起きたのかを、物理的に明確に定義することが不可能になる、とその著書『哲学者-科学者』の中で述べています。ゲーデル解は、アインシュタイン方程式が内包する時間と因果律に関する複雑さや、私たちの時間の概念の限界を探る上で、現在も重要な研究対象となっています。

計量

ゲーデル解によって記述される時空の幾何学的構造は、以下の「計量」と呼ばれる数式で表現されます。


ds^2 = (1/(2ω^2)) * (-(dt + e^x dz)^2 + dx^2 + dy^2 + (1/2)e^(2x) dz^2),
-∞ < t, x, y, z < ∞


ここでωは、ゼロではない実数の定数であり、時空の回転の度合いを示す角速度を表しています。この数式こそが、ゲーデル解の特異な時空構造、特に時間的閉曲線の存在を数学的に記述しているのです。

ゲーデル解は、モデルとしての人工性や非現実的な回転の度合いから、私たちの現実の宇宙をそのまま描写しているとは考えられていません。しかし、一般相対性理論の枠内で許される驚くべき可能性、特に時間の本質や因果律といった根源的な問題について、物理学と哲学の両面から深く考察するきっかけを与えてくれる、極めて示唆に富む解であると言えます。

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