コホモロジー環

コホモロジー環：代数トポロジーにおける空間の不変量

代数トポロジーにおいて、位相空間の重要な性質を代数的な構造を通して理解する強力なツールとしてコホモロジー環があります。これは、位相空間Xのコホモロジー群を元に構成される環であり、その積構造はカップ積によって定義されます。コホモロジー自身は特異コホモロジーを指すことが一般的ですが、ド・ラームコホモロジーなど、他のコホモロジー理論においても同様の環構造が定義できます。

コホモロジー環は、空間の連続写像に対してコホモロジー環上の環準同型を誘導する函手的性質を持ちます。この函手は反変的です。つまり、空間の間の写像の向きが逆転します。

カップ積と環構造

係数環R（例えば、整数環Z、有理数体Q、実数体R、複素数体C、または有限体Znなど）を固定し、位相空間X上のk次コホモロジー群をHk(X; R)と表します。このとき、カップ積は次の写像として定義されます。

Hk(X; R) × Hℓ(X; R) → Hk+ℓ(X; R)

このカップ積は、すべての次数のコホモロジー群の直和

H•(X; R) = ⊕k∈N Hk(X; R)

上に積を定めます。この積により、H•(X; R) は環となります。具体的には、自然なN-次数付き環であり、非負整数kが次数に対応します。カップ積はこの次数付けと整合性があり、次数kと次数ℓの要素αkとβℓについて、次の関係が成り立ちます。

(αk ⌣ βℓ) = (-1)kℓ (βℓ ⌣ αk)

つまり、カップ積は、符号を除いて可換な次数付き可換環となります。この符号は、次数kとℓの偶奇によって決まります。

カップ長とコホモロジー環の不変量

コホモロジー環から得られる重要な不変量として、カップ長があります。カップ長とは、カップ積を繰り返し適用した結果が0でないような、次数が1以上の元の最大個数を表します。例えば、n次元複素射影空間はカップ長nを持ちます。

例：実射影空間のコホモロジー環

実射影空間のコホモロジー環は、カップ積の具体的な例としてよく用いられます。係数体として有限体F2を用いると、n次元実射影空間R P^nのコホモロジー環は次のように記述できます。

H(R P^n; F2) = F2[α]/(αn+1)

ここで、|α| = 1はαの次数が1であることを意味します。無限次元実射影空間R P^∞については、

H(R P^∞; F2) = F2[α]

となります。

キネットの公式を用いると、R P^∞のn個の積のmod 2コホモロジー環は、F2係数のn変数多項式環であることが分かります。

参考文献

Novikov, S. P. (1996). Topology I, General Survey. Springer-Verlag.
Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

これらの参考文献は、コホモロジー環に関するより詳細な情報を提供しています。

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