コーシーの主値

コーシーの主値積分：特異点を持つ積分の評価法

数学において、特に積分計算において、被積分関数が積分区間に特異点を持つ場合、通常の積分法では積分値を定義できません。このような場合に積分値を定める方法の一つとして、コーシーの主値積分が用いられます。

コーシーの主値積分の定義

コーシーの主値積分の定義は、特異点の種類によって以下の3つのケースに分類されます。

i) 有限区間の積分における特異点

区間 `a < x < c` で定義された関数 `f(x)` が、区間内に特異点 `b (a < b < c)` を持つとします。`f(x)` が `b` の近傍で無限大に発散する場合、通常の積分は定義されません。この場合、コーシーの主値は以下のように定義されます。

`lim_{ε→0+} (∫_a^(b-ε) f(x)dx + ∫_(b+ε)^c f(x)dx)`

これは、特異点 `b` を左右から等しい距離 `ε` だけ避けて積分を行い、その後、`ε` を0に近づけた極限値として定義されます。この極限値が存在する場合、その値をコーシーの主値と呼びます。

ii) 無限区間の積分における特異点

被積分関数 `f(x)` が無限区間 `(-∞, ∞)` で積分され、原点に特異点を持つ場合を考えます。この場合、コーシーの主値は以下のように定義されます。

`lim_{a→∞} ∫_-a^a f(x)dx`

これは、積分区間を対称的に拡張し、無限大に近づけた極限値として定義されます。

もし、特異点が `b (-∞ < b < ∞)` にあり、かつ無限大も特異点である場合、コーシーの主値は以下のようになります。

`lim_{ε→0+} (∫_(b-1/ε)^(b-ε) f(x)dx + ∫_(b+ε)^(b+1/ε) f(x)dx)`

この定義では、特異点 `b` の周りの積分範囲を対称的に調整することで、特異点の影響を打ち消すように積分を行います。

iii) 複素線積分における特異点

複素関数 `f(z)` が複素平面上の経路 `C` 上に極を持つ場合、コーシーの主値は、極を中心とする半径 `ε` の円盤内の経路 `C(ε)` を用いて定義されます。 `f(z)` が `C(ε)` 上で可積分である場合、コーシーの主値は以下のように定義されます。

`lim_{ε→0+} ∫_(C(ε)) f(z)dz`

これは、極を小さな円弧で迂回する積分経路を考え、円弧の半径を0に近づけた極限値として定義されます。

コーシーの主値積分の表記法

コーシーの主値積分は、様々な表記法が使われます。代表的なものとして、`PV∫`, `P∫`, `⨍` などがあります。どの表記法を使うかは、著者や文脈によって異なります。

コーシーの主値積分の計算例

`∫_(-1)^1 (1/x)dx` を計算する場合、被積分関数は `x=0` に特異点を持っています。コーシーの主値は 0 となります。しかし、積分区間を `∫_(-1)^(-a) (1/x)dx + ∫_(2a)^1 (1/x)dx` と変えると、結果は `-ln2` となり、積分区間のわずかな違いで結果が大きく異なることに注意が必要です。

同様に、`∫_(-∞)^∞ (2x/(x²+1))dx` もコーシーの主値は 0 です。しかし積分区間を非対称に取ると、結果は変わってきます。

コーシーの主値積分と超関数

コーシーの主値積分は、超関数論においても重要な役割を果たします。例えば、`1/x` のコーシーの主値は、超関数として定義され、ヘヴィサイドの階段関数のフーリエ変換などに現れます。

まとめ

コーシーの主値積分は、特異点を持つ積分を扱うための強力なツールであり、数学の様々な分野で活用されています。しかし、積分区間の取り方によって結果が変化する可能性があるため、注意深い扱いが求められます。特に、無限区間の場合、対称的な積分区間を取ることで、コーシーの主値を定義するのが一般的です。

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