コーシー＝コワレフスカヤの定理

コーシー=コワレフスカヤの定理

コーシー=コワレフスカヤの定理は、偏微分方程式論における極めて重要な基礎定理の一つです。この定理は、ある種の初期値問題に対して、解が存在するかどうか、そしてもし存在するならそれが唯一つであるかを保証するものです。特に、この定理が成立するためには、扱う方程式や初期条件が「解析的」であるという性質が鍵となります。

歴史的背景

この定理の起源は、19世紀の偉大な数学者たちの業績にあります。まず、オーギュスタン＝ルイ・コーシーが、比較的単純な形の常微分方程式や、特定のタイプの線形偏微分方程式について、解の存在と一意性に関する基礎的な結果を示しました。彼の仕事は、数学的解析における厳密さをもたらす上で画期的なものでした。

その後、ロシアの傑出した女性数学者ソフィア・コワレフスカヤが、コーシーの結果を大幅に拡張しました。彼女は、より一般的な高階の偏微分方程式系に対して、同様の局所的な解の存在と一意性を証明することに成功しました。彼女の貢献は、この分野における重要なブレークスルーとなり、定理は今日「コーシー=コワレフスカヤの定理」として彼女の名前とともに記憶されています。

定理の内容

この定理が対象とするのは、時間変数 $t$ と空間変数 $x = (x_1, \dots, x_n)$ を持つ未知関数ベクトル $u = (u_1, \dots, u_m)$ に関する偏微分方程式系です。具体的には、時間変数 $t$ に関する最高階微分項が左辺に分離された「正規形」と呼ばれる形式のシステムを扱います。

$$ \frac{\partial^{p_i} u_i}{\partial t^{p_i}} = F_i(t, x, u, \dots, その他の t に関して p_i 階未満の混合微分) \$$

ここで、$i = 1, \dots, m$ であり、$p_i$ は各方程式における未知関数 $u_i$ の $t$ に関する最高階数を示します。右辺の関数 $F_i$ は、$t, x$, 未知関数 $u$ そのもの、および $u$ の様々な偏微分を含みますが、左辺に現れる $\partial^{p_i} u_i / \partial t^{p_i}$ という項そのものは含みません。

これに加えて、時間 $t=0$ における「初期条件」が与えられます。これは、各未知関数 $u_i$ の $t=0$ における $t$ による $k$ 階微分 ($k = 0, 1, \dots, p_i-1$) が、空間変数 $x$ の既知の関数として与えられるものです。

$$ \frac{\partial^k u_i}{\partial t^k} (0, x) = w_{ik}(x) \$$

解析性の仮定と結論

コーシー=コワレフスカヤの定理が機能するための最も重要な、そして強い仮定は「解析性」です。すなわち、上記の方程式系の右辺に現れる関数 $F_i$ と、初期条件として与えられる関数 $w_{ik}(x)$ が、基準点 $(t, x) = (0, 0)$ の近傍で「解析的」（すなわち、収束べき級数として展開可能）であると仮定します。

この解析性という仮定の下で、定理は以下の結論を保証します：

1. 存在: 与えられた偏微分方程式系と初期条件を満たす解析的な解 $u_i(t, x)$ が、基準点 $(t, x) = (0, 0)$ のある近傍で存在します。
2. 一意性: その存在する近傍において、解析的かつ与えられた初期条件を満たす解はただ一つに限られます。

この結果は「局所存在・一意性」を示すものであり、解が存在し、一意である範囲は基準点のすぐ近くの狭い領域に限定される可能性がある点に留意が必要です。

解析性の重要性

コーシー=コワレフスカヤの定理における解析性の仮定は不可欠です。単に無限回微分可能（C∞級）であるだけでは、一般に解の存在や一意性は保証されません。この事実を示す有名な例として、1956年に数学者ハンス・レヴィが発表した反例があります。彼は、右辺がC∞級でありながら解析的ではない特定の線形偏微分方程式に対して、いかなる局所的なC¹級解も存在しないことを示しました。この「レヴィの反例」は、コーシー=コワレフスカヤの定理における解析性という仮定が、解の存在を保証する上でいかに本質的な役割を果たしているかを浮き彫りにしました。

まとめ

コーシー=コワレフスカヤの定理は、解析的な偏微分方程式の初期値問題に対して、局所的な解析的解の存在と一意性を保証する強力なツールです。その歴史的な発展には、コーシーによる基礎付けとコワレフスカヤによる一般的な定式化という二人の数学者の貢献があります。しかし、定理の仮定である解析性が厳しいため、この定理だけでは扱えない偏微分方程式も数多く存在します。解析的でない方程式や大域的な解の存在については、フーリエ解析や関数解析など、他の数学的手法が必要となります。それでもなお、解析的な枠組みにおける偏微分方程式論の基礎として、この定理は重要な位置を占めています。

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