ゴモリ・フー木

ゴモリ・フー木：ネットワークの効率的な表現

グラフ理論において、ネットワークの接続性を分析する上で重要な概念として「カット」があります。カットとは、グラフの頂点を2つの集合に分割する操作であり、その分割によって切断される辺の重みの総和をカットの容量と呼びます。複雑なネットワークでは、全てのカットを列挙して解析することは非常に困難です。そこで、ネットワークのカット構造を効率的に表現する手法として考案されたのが、ゴモリ・フー木です。

ゴモリ・フー木は、元のグラフと等価な情報を保持しつつ、木構造というシンプルな形で表現することで、ネットワークの解析を容易にします。具体的には、元のグラフと同じ頂点集合を持ち、各辺の重みが元のグラフにおける対応するカットの最小容量を表す木構造です。

ゴモリ・フー木の定義

重み付き無向グラフGとその頂点集合Vに対して、ゴモリ・フー木とは以下の条件を満たす木Tのことです。

1. 木Tの頂点集合は、グラフGの頂点集合Vと同一です。
2. 木Tの任意の2頂点u, v間の最短経路上の辺の最小容量は、グラフGにおけるu, v間の辺連結度と一致します。辺連結度とは、2頂点を接続する辺を少なくとも1本含むようなカットの最小容量です。
3. 木Tの各辺eを削除することでグラフが2つの連結成分AとBに分割されるとき、辺eの重みはAとBの間の最小カット容量と一致します。

言い換えれば、ゴモリ・フー木は元のグラフの全ての頂点間の辺連結度を正確に表現する最小全域木です。この性質によって、複雑なネットワークの接続性を効率的に分析することが可能になります。

ゴモリ・フー木の性質と応用

ゴモリ・フー木は、元のグラフと同じ頂点集合を持つ木構造であるため、元のグラフよりもはるかに少ない辺数で表現できます。この簡潔な表現が、ネットワーク解析における計算コストの削減に大きく貢献します。さらに、ゴモリ・フー木を用いることで、以下の様な問題を効率的に解くことができます。

最大フロー問題: 2点間の最大フローは、ゴモリ・フー木における対応する経路の最小容量によって決定されます。
最小カット問題: 2点間の最小カットは、ゴモリ・フー木における対応する辺の重みによって決定されます。
ネットワークの信頼性解析: ゴモリ・フー木を用いて、ネットワークの各部分の重要度を評価することができます。
ネットワーク設計: ゴモリ・フー木は、ネットワークの最適化設計に役立ちます。

参考文献

茨木俊秀, 永持仁, 石井博昭. グラフ理論―連結構造とその応用―. 朝倉書店, 2010.

関連項目

カット
極大フロー
最小カット
全域木

まとめ

ゴモリ・フー木は、複雑なネットワークのカット構造を効率的に表現する強力なツールです。その簡潔さと効率性から、ネットワーク解析や最適化問題において広く利用されています。本解説ではゴモリ・フー木の定義と性質、そしてその応用について詳細に解説しました。より深く理解するためには、参考文献などを参照して、グラフ理論の基礎を学ぶことが重要です。

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