サラスの方法

サラスの公式：3×3行列の行列式を簡単に計算する方法

線形代数学において、行列式は重要な役割を果たします。特に3×3行列の行列式を求める際には、サラスの公式が非常に便利です。この公式は、フランスの数学者ピエール・フレデリック・サラスによって考案された計算方法で、複雑な計算を簡略化し、効率的に行列式を求めることができます。

サラスの公式とは？

サラスの公式は、3×3行列の行列式を、対角線上の要素の積の和と、逆対角線上の要素の積の差として計算する方法です。具体的には、以下のようになります。

3×3行列Mを次のように表します。


M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}


この行列Mの行列式det(M)は、以下の式で計算できます。


det(M) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}


この式は、行列Mの要素を対角線に沿って掛け合わせて足し算し、逆対角線に沿って掛け合わせて引き算することで計算されます。

サラスの公式の導出

サラスの公式は、余因子展開を用いて導出することができます。余因子展開とは、行列式を、ある行または列の要素とその余因子との積の和として展開する方法です。3×3行列の場合、第一行を用いて余因子展開すると、以下のようになります。


det(M) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})


この式を展開すると、サラスの公式と同じ式が得られます。

サラスの公式の視覚的な理解

サラスの公式は、視覚的に理解することもできます。行列Mの最初の2列を右側にコピーして、5列並べます。そして、左上から右下への対角線上の3つの要素の積を足し合わせ、左下から右上への対角線上の3つの要素の積を引き算します。この結果が、行列式det(M)となります。

サラスの公式の適用範囲

サラスの公式は、3×3行列の行列式を計算する際に非常に有効な方法です。しかし、4×4以上の行列には適用できません。より大きなサイズの行列の行列式を計算する場合は、他の方法（例えば、余因子展開やLU分解）を用いる必要があります。

まとめ

サラスの公式は、3×3行列の行列式を簡単に計算するための便利な公式です。その視覚的な分かりやすさから、線形代数学の初学者にとっても理解しやすい方法となっています。しかし、その適用範囲は3×3行列に限定されるため、より大きな行列の行列式計算には、他の適切な方法を選択する必要があることを理解しておきましょう。

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