ジェネリックフィルター

ジェネリックフィルターに関する基礎知識

ジェネリックフィルターは、数学の集合論、とりわけ強制法の理論において重要な概念です。この技法は、命題の独立性を証明するために利用されるもので、与えられた形式的な理論—これにはZFC（ツェルメロ・フランケル公理系）が含まれます—から特定の命題が証明できないことを示す際に特に効果的です。

強制法とジェネリックフィルターの役割

例えば著名な数学者ポール・コーエンは、ZFCが無矛盾であると仮定した場合、連続体仮説、すなわち実数全体の集合の濃度がℵ₁であることを証明できないことを示しました。この証明において、コーエンはジェネリックフィルターを構成する方法を用い、ℵ₁の値を変えることなく、より多くの実数を生成することができることを明らかにしました。

ジェネリックフィルターの構成

形式的に、半順序集合Pとそれに関連するフィルターFが定義されます。フィルターFは、以下の条件を満たさなければなりません：
1. Fは空でない。
2. p, q ∈ Pについて、p ≤ qが成り立つとき、pがFの要素ならばqもFの要素である（すなわち、Fは上に閉じている）。
3. Fの任意の二要素pとqに対して、それらに両立するFの要素rが存在し、r ≤ pかつr ≤ qを満たす。

このようにしてフィルターFは形成され、DをPの稠密部分集合の族とすると、フィルターFがD-ジェネリックであることが定義されます。この定義によれば、FはDの任意の要素Eと交わりを持つ必要があり、すなわちF ∩ E ≠ ∅であることが求められます。

ZFCのモデルにおけるジェネリックフィルター

さらに、ZFCの推移モデルMとMの要素である半順序Pがある場合に、FがM上ジェネリックであることを検討します。この際もDをPの稠密開部分集合とすることで、FがDの任意の要素と交わりを持つ必要があります。これもまたF ∩ D ≠ ∅という形で表現されます。

まとめ

ジェネリックフィルターは、数学の集合論において強制法の実践的な応用の一つであり、特に命題の独立性を確立する際に非常に有効な手法です。コーエンの業績を通じて、これがどのように実際の証明に使われるのかを理解することができるでしょう。これにより、数学的理論の構築とその限界について更なる理解が深まることが期待されます。

参考文献

K. Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician, London Mathematical Society.

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