セグレの多重複素数

多重複素数：実数から始まる高次元数の体系

数学において、多重複素数（Multicomplex number）は、実数から出発して再帰的に定義される、興味深い数体系です。イタリアの数学者セグレによって1892年に導入され、各自然数nに対して、実数体ℝ上2n次元の可換結合多元環を成すという特徴を持っています。

多重複素数の定義：再帰的な構成

多重複素数環ℂnは、実数体ℂ0≔ℝから再帰的に構成されます。n≧1の場合、既にℂn-1が定義されていると仮定します。このとき、ℂn-1に含まれない新たな虚数単位inを導入します。inは、i²n = -1を満たし、既に存在する虚数単位i1,…,in-1と可換であるとします。

そして、ℂnを以下のように定義します。

ℂn ≔ {x + yin | (x, y) ∈ ℂn-1²}

これは、ℂn-1の二つの元xとyを用いて、x + yinという形の数を構成することを意味します。この再帰的な定義により、実数から出発して、段階的により高次元の数体系を構築していくことができます。

多重複素数の定義：直接的な表現

上記の再帰的な定義は、テンソル積を用いてより簡潔に表現できます。n≧1に対して、1とinはℂn-1の任意の元と可換であり、span(1, in) ∉ ℂn-1（特にin ∉ ℂn-1）を満たします。この条件下で、ℂnは以下のように表せます。

ℂn = ℂn-1 ⊗ℝ span(1, in)

ここで、⊗ℝは実数体ℝ上のテンソル積を表します。span(1, in)は1とinで張られる空間であり、条件i²n = -1からℂと同型になります。したがって、以下の式も成立します。

ℂn = ℂn-1 ⊗ℝ ℂ

さらに、この表現を繰り返すことで、最終的に以下のようになります。

ℂn = underbrace{ℂ⊗ℝℂ⊗ℝ⋯⊗ℝℂ}_{n factors} = ⊗ⁿℝℂ

この式は、多重複素数が、実数体ℝ上の複素数ℂのn個のテンソル積として表現できることを示しています。

多重複素数の代数的性質

多重複素数環ℂnは、いくつかの重要な代数的性質を持っています。

次元: ℂnは実数体ℝ上2n次元です。これは、ℂ0≔ℝが1次元であることから、各階層で次元が2倍になることを意味します。
バナッハ代数: 各ℂnはバナッハ代数を成します。バナッハ代数とは、ノルムを持つ代数であり、ノルムに関して完備である空間です。
零因子: n≧2の場合、ℂnは零因子を持ちます。零因子とは、零でない元a, bが存在して、ab=0となる元のことです。例えば、異なる自然数a, bに対して、(ia-ib)(ia+ib)=i²a-i²b = 0が成立します。
部分環: n≧1の場合、ℂ0, …, ℂn-1はすべてℂnの部分環となります。これは、低次元の多重複素数が、高次元の多重複素数の中に自然に埋め込まれることを意味します。
複素数平面と分解型複素数平面: ℂnはn個の複素数平面とn(n-1)/2個の分解型複素数平面を含みます。

多重複素数の例

nの値が小さい場合は、よく知られた数体系に対応します。

ℂ0≔ℝ：実数体
ℂ1≔ℂ：複素数体
ℂ2：双複素数環
* ℂ3：三重複素数環

まとめ

多重複素数は、実数から出発して再帰的に定義される高次元数の体系です。テンソル積を用いた表現や、その代数的性質、低次元の場合の具体的な例などを通して、多重複素数の豊かな数学的構造を理解することができます。この体系は、数学の様々な分野、特に代数学や幾何学において、重要な研究対象となっています。

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