ソローモデル

ソローモデル（Solow Model）

ソローモデルは、長期的な経済成長を説明するための基本的な経済モデルとして広く認識されています。このモデルは、経済成長における資本の蓄積、労働力の成長、そして主に技術進歩による生産性向上がどのように影響するかを示します。1956年に経済学者ロバート・ソローとトレバー・スワンによって独立に提唱され、ケインズ派のハロッド＝ドーマー・モデルに代わるものとなりました。

背景

ソローモデルは、1946年のハロッド＝ドーマー・モデルを発展させたもので、「十分な労働力があれば資本のみが成長に寄与する」という仮定を排除しました。このモデルは比較的シンプルでありながらも、アメリカの経済成長に関するデータをうまく説明し、多くの経済学者に支持されました。1987年には、ソローの研究が評価されノーベル経済学賞を受賞しました。更に、技術変化、資本、労働の相互作用を分析するための成長会計手法も広まりました。

ソローモデルの主な主張は、全要素生産性（TFP）の向上が国民の生活水準を持続的に向上させる可能性があることです。つまり、生産性の向上が資本や労働力の量の増加と同等、またはそれ以上の影響を持つことを示唆しています。

数学的定義

ソローモデルでは、経済の生産を Y、資本を K、労働を L、労働の効率性を A と定義し、次の生産関数を用います。

$$ Y = F(K, AL) $$

ここで、AL は効率的な労働を表しています。この生産関数は、スケールにおいて収穫が一定であると仮定されるため、次のように書けます。

$$ F(λK, λL) = λF(K, L) $$

すべての数量を効率的な労働1単位あたりで表すと、次のように再記述できます。

$$ k = \frac{K}{AL}, \, y = \frac{Y}{AL}, \, f(k) = F(k, 1) $$

これにより、生産関数は以下のように簡約されます。

$$ y = f(k) $$

このモデルのもとでは、資本の限界生産性は常に正であり、逓減するものとされています。労働とその効率性は所与の初期量から定率で増加するものと仮定され、次の式になります。

$$ \dot{L}(t) = nL(t), \\ \dot{A}(t) = gA(t) $$

ここで、n と g は外生的な成長率を示します。また、資本 K の時間変化は、貯蓄率 s と減価償却率 δ を用いて次のように表現されます。

$$ \dot{K}(t) = sY(t) - δK(t) $$

このモデルでは、政府や貿易の影響は考慮に入れられていません。

定常状態

定常状態とは、投資と減価償却が釣り合う状況を指し、資本ストックや産出が時間経過に対して一定となる状態です。これは以下の等式によって表されます。

$$ \dot{k}(t) = 0 $$

このため、ある初期条件から出発しても最終的に資本ストック k は定常状態の k に収束します。言い換えれば、次の式が成り立ちます。

$$ s f(k^(t)) = (n + g + δ) k^(t) $$

黄金律水準

資本ストック k の中で消費を最大化する水準はゴールドスタンダードと呼ばれ、k^gold で表されます。国民所得勘定の恒等式より、一人あたり消費 c は次に示すように表現されます。

$$ c = f(k(t)) - sf(k(t)) $$

定常状態の時、次の条件式が成り立ち、消費の最大値が導出されます。

$$ \frac{dc^}{dk^} = f'(k^(t)) - (n + g + δ) = 0 $$

ここから、資本の限界生産性がゴールドスタンダード水準を表すことが導かれます。すなわち、以下の関係が成り立ちます。

$$ MPK = n + g + δ $$

このように、ソローモデルは経済成長のメカニズムを理解するための基盤を提供しており、資本、労働、技術の相互作用を学ぶ上で不可欠な役割を果たしています。

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