ナイキスト周波数

ナイキスト周波数：デジタル信号処理における重要な概念

デジタル信号処理において、ナイキスト周波数は非常に重要な概念です。これは、アナログ信号をデジタル信号に変換する際に、正確な情報を保持するために必要な上限周波数を示します。具体的には、サンプリング周波数のちょうど半分にあたる周波数です。

ナイキスト周波数の定義と意味

ナイキスト周波数(f_n) は、[サンプリング周波数] の半分として定義されます。数式で表すと、以下のようになります。
f_n = f_s / 2

この式は、サンプリング周波数が十分に高くない場合、ナイキスト周波数を超える周波数の信号成分を正しくデジタル化できないことを示しています。ナイキスト周波数を超える周波数の信号をサンプリングすると、エイリアシングと呼ばれる現象が発生します。

エイリアシング：元の信号の歪み

エイリアシングとは、サンプリングによって高周波成分が低周波成分として誤って検出される現象です。元の信号に含まれる高周波成分が、ナイキスト周波数以下の周波数に「折り返される」ため、元の信号とは異なる波形が再現されてしまいます。結果として、元の信号とは異なる、歪んだ信号が得られてしまうのです。

例えば、100Hzのサンプリング周波数で70Hzの信号をサンプリングした場合、ナイキスト周波数は50Hzです。70Hzの信号は、50Hzから折り返され、30Hzの信号として検出されてしまいます。そのため、再生された信号は70Hz成分を持たず、元の信号とは異なる波形になります。

ナイキスト周波数と標本化定理

この現象は、1928年にハリー・ナイキストによって予想され、標本化定理として知られています。この定理は、アナログ信号をデジタル信号に変換する際に、正確な情報を保持するためには、サンプリング周波数をナイキスト周波数の2倍以上にする必要があることを示しています。

ナイキスト・レートとの違い

ナイキスト・レートは、元の信号を正確に再現するために必要な最小サンプリング周波数で、信号の最高周波数の2倍に相当します。これは、ナイキスト周波数と混同しやすいですが、ナイキスト周波数はサンプリング周波数の半分であるのに対し、ナイキスト・レートはサンプリング周波数の最小値を表している点が異なります。

エイリアシングの防止：帯域制限フィルタ

エイリアシングを防ぐためには、サンプリング前にアナログ信号の周波数成分をナイキスト周波数以下に制限する必要があります。これは、帯域制限フィルタを用いて実現されます。帯域制限フィルタは、ナイキスト周波数以上の周波数成分を除去することで、エイリアシングの発生を防ぎます。しかし実際にはフィルタの特性上、サンプリング周波数の45%程度まで制限するのが現実的です。

まとめ

ナイキスト周波数は、デジタル信号処理において、信号の正確な再現に不可欠な概念です。サンプリング周波数と密接に関係しており、エイリアシングを防ぐための重要な指標となります。デジタル信号処理を行う際には、ナイキスト周波数を理解し、適切なサンプリング周波数と帯域制限フィルタを選択することが重要です。

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