ハーディ階層

ハーディ階層とは

ハーディ階層（ハーディかいそう）は、1972年にスタンリー・S・ウェイナーによって提唱された計算可能関数の階層の一つです。この階層は、他の計算可能関数の階層と同様に、自然数に基づいていますが、特に順序数α（ε0以下の順序数）で添え字づけされた関数の集合と見なされます。具体的には、関数の族
{hα}α≦ε0が定義され、これによりハーディ階層{Hα}α≦ε0が形成されます。これは、元となる関数hαを含み、いくつかの基本的な演算で閉じた範囲を持つ疲労構造を持つことが特徴です。名称は、イギリスの著名な数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディに由来し、彼の1904年の論文において提唱されたアイデアが基礎になっています。

定義

ハーディ階層の定義は、ウェイナーによるもので、次のように自然数nに対して関数hαが定義されます：

• - h0(n) = n
• - hβ+1(n) = hβ(n + 1)
• - hα(n) = hαn（ここで、αが極限順序数である場合）

このように、ハーディ関数の値は、自然数と順序数の特性を利用して計算されます。極限順序数αに対して、その具体的な定義は、αが特定の形式に表される場合に関連する数列を用いて行われます。

具体的には、αがある形式に書き換え可能な場合、次のような形で定義されます:

• - α[n]の定義：

- α = ωβ + 1 ⋅ (γ + 1) の場合、
α[n] = ωβ + 1 ⋅ γ + ωβ ⋅ n
- α = ωβ ⋅ (γ + 1) の場合、
α[n] = ωβ ⋅ γ + ωβ[n]
- α = ε0 の場合は特別な定義があります。

このように関数hαは、計算可能関数の集合{Hα}の最小集合として定義され、ゼロ関数や後者関数、および射影関数などを含んでいます。これにより、ハーディ階層の性質が決まります。

性質

ハーディ階層の重要な性質の一つに、順序数αとβに対する次の関係があります。

$$ hα + β(n) = hα(hβ(n)) $$

この関係は、計算可能関数の多重性を示しています。また、ハーディ階層の関数hαと急成長階層の関数fαとの関連も存在し、これら二つの階層間での相互作用が確認されています。

具体的には、次のような関係が成り立ちます。

$$ Hωα(n) = fα(n) $$

また、特に順序数αが1 < α < ε0の範囲にある場合についても考察され、急成長階層に関する性質が確認されています。このように、ハーディ階層は計算可能性の理論において興味深い位置を占め、数学者にとっては重要な研究対象となっています。

ハーディ階層は、計算論や論理学の深い理解を促進し、様々な数学的構造との関連性を探るための貴重なツールとして機能します。この階層に関する研究は、さらなる数学的発展を促進することが期待されます。

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