バードの配列表記

バードの配列表記

概要

バードの配列表記（英: Bird's array notation）とは、クリス・バードが考案した独特な巨大数の表記法です。この表記法は、従来のBEAF表記の拡張として位置づけられており、巨大数の構造をより詳細かつ複雑に表現することを可能にします。本稿では、バードの配列表記におけるルールとその特徴について詳述します。

線形配列

バードの配列表記の基本的な形式には、線形配列が存在します。この場合のルールは以下のように整理されています。

1. Rule 1-1:
$$\{a\} = a$$
単一の要素の配列はそのままその要素と同じです。

2. Rule 1-2:
$$\{a,b\} = a^b$$
二つの要素の配列は、aのb乗に等しいと定義されます。

3. Rule 2:
$$\{\#,1\} = \{\#\}$$
特定の記号と1の配列は、その記号の配列と見なされます。

4. Rule 3:
$$\{a,1\#\} = a$$
1の配列が含まれた場合、配列はaに簡略化されます。

5. Rule 4:
$$\{a,b,1,\ldots,1\,c,\#\} = \{\underbrace{a,\ldots,a}_{d+1},\{a,b-1,\underbrace{1,\ldots,1}_{d},c,\#\},c-1,\#\}$$
複雑な配列のルールでは、要素の繰り返しと再帰的な参照が行われます。

6. Rule 5:
$$\{a,b,c\#\} = \{a,\{a,b-1,c,\#\},c-1\#\}$$
ここでは、cの配列が一つ減ることで再帰的な構造を作ります。

これらのルールは、バードの配列表記における基本的な構造を形成します。

多次元配列

多次元配列も可能で、この場合は別の形式を使用します。ここでは、配列の各部分が異なる次元で表現されます。

1. Rule A1:
$$\acute{a}<0>b' = \acute{a}'$$
配列の一部分が0未満のときの扱いを示します。

2. Rule A2:
$$\acute{a}1' = \acute{a}'$$
cの配列が1の場合の簡略化。

3. Rule A3:
$$\acute{a}b' = \acute{a}b[c]a(b-1)'$$
より複雑な条件のもとでの配列の処理を行います。

このように、多次元配列のルールは、対象をさまざまな次元で扱うことを可能にしています。

超次元配列

超次元配列では、さらなる複雑さが加わります。ここでも新たなルールが適用され、配列とセパレータの使い方が変化します。

例えば、ルールの一つであるRule A3では、特定の条件を持った配列の処理が行われます。このように、超次元の扱いには独自の方法論が必要とされます。

二つのセパレータの順序付け

配列のどの部分が優位であるかを判断するためには、配列がネストされた深さを数値化する必要があります。この深さの情報を元に、どのセパレータがより強力であるかを決定します。

結論

バードの配列表記は、巨大数の表記法として独自の美しさと複雑さを持つものです。そのルールは多様であり、基礎的な配列から多次元、超次元へと進むことで、無限の数を表現する可能性を秘めています。これはクリス・バード自身の他の研究とも関連するものであり、数学の世界に多大な影響を与えています。

もう一度検索