ヒルベルト・サミュエル関数

ヒルベルト・サミュエル関数とは

可換環論において、可換ネーター局所環 A 上の有限生成の0でない加群 M とAの準素イデアル I に関連し、ヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) が定義されます。この関数は、数学者 David Hilbert と Pierre Samuel の名前に因んで名付けられました。ヒルベルト・サミュエル関数は、以下のように数学的に表現されます。

$$
egin{align*}
ext{χ}_{M}^{I} &:
mathbb{N}
ightarrow
mathbb{N} \
ext{χ}_{M}^{I}(n) &= ext{ℓ}(M/I^{n}M)
ext{
} \
ext{次数加群 } & ext{gr}_{I}(M) \
ext{ヒルベルト関数} &: ext{χ}_{M}^{I}(n) = \
ext{∑}_{i=0}^{n} H( ext{gr}_{I}(M), i)
ext{
}
ext{ここで、} ext{ℓ} & ext{は A 上の長さを示します。}
ext{
}
ext{十分大きい n に対して、}
ext{χ}_{M}^{I}(n) & ext{は次数が} ext{dim}( ext{gr}_{I}(M)) ext{ に等しい多項式関数として表されます。}
\
ext{例 }
& ext{として、二変数の形式的冪級数の環 } kx,y を考え、加群 M に対して、}

$$

ヒルベルト・サミュエル関数の計算

例として、環 kx,y を考える場合、イデアルは単項式 x² と y³ によって生成されます。この場合のヒルベルト・サミュエル関数は次のように計算されます。

• - χ(1) = 1
• - χ(2) = 3
• - χ(3) = 5
• - χ(4) = 6
• - そして k > 4 の場合、 χ(k) = 6

ヒルベルト・サミュエル関数の性質

ヒルベルト・サミュエル関数はヒルベルト関数とは異なり、完全列に対する加法性を持っていないものの、一部の条件下では近似的に加法的です。この関数は P_{I,M} というヒルベルト・サミュエル多項式によって表記され、十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数に一致します。

例えば、(R,m) をネーター局所環、I を m-準素イデアルとし、以下の完全列を考えることができます。

$$
0 o M' o M o M'' o 0
$$

この列が有限生成 R-加群の完全列であり、 M/IM の長さが有限である場合、以下の等式が成り立ちます：

$$
P_{I,M} = P_{I,M'} + P_{I,M''} - F
$$

ここで F は P_{I,M'} の次数よりも小さな正の leading coefficient を持つ多項式です。特に、M' が M に同型であれば、この関数は特定の関係性を示します。

まとめ

ヒルベルト・サミュエル関数は、可換環論における加群やイデアル性質を理解するための重要な道具です。定義、計算方法、性質を明確に理解することで、可換環における構造の深い理解が得られるでしょう。

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