フェンスケの式

フェンスケの式について

フェンスケの式（Fenske equation）は、連続分留プロセスで全還流状態の際に、二成分の供給流を分離するために必要な最小理論段数を計算する公式です。この方程式は1932年に、ペンシルベニア州立大学の化学工学科長であったメレル・フェンスケによって提唱されました。この式の理解は、大規模な連続工業用蒸留塔の設計を行う際に、所望の塔頂生成物の組成を得るために不可欠です。

フェンスケの式の基本形

フェンスケの式にはさまざまな形式がありますが、ここでは二成分混合物専用の基本的な形を紹介します。この式は次のように表されます。

$$N = \frac{\log \left[ \left( \frac{X_d}{1 - X_d} \right) \left( \frac{1 - X_b}{X_b} \right) \right]}{\log \alpha_{avg}}$$

ここで、

• - N: 全還流状態における最小理論段数（再沸器も含む）
• - X_d: タワーの頂部分からの流出物におけるより揮発性成分のモル分率
• - X_b: タワーの底部分からの流出物におけるより揮発性成分のモル分率
• - α_{avg}: より揮発性の低い成分に対するより揮発性の高い成分の平均比揮発度

このように、フェンスケの式は化学工業における蒸留プロセスの設計に大きな役割を果たします。

多成分混合物への応用

多成分の混合物においては、上記の式を改良する必要があります。一般的に、より揮発性の高い成分と低い成分はそれぞれ軽質キー（LK）と重質キー（HK）と呼ばれ、この点を用いることで次のように表すことができます。

$$N = \frac{\log \left[ \left( \frac{LK_d}{HK_d} \right) \left( \frac{HK_b}{LK_b} \right) \right]}{\log \alpha_{avg}}$$

また、別の表現として、

$$N = \frac{\log \left[ \left( \frac{LK_d}{1 - LK_d} \right) \left( \frac{1 - LK_b}{LK_b} \right) \right]}{\log \alpha_{avg}}$$

という形式も存在します。これらの計算式は、効率的な蒸留塔の設計や操作において不可欠です。

比揮発度の変化

軽質キーと重質キーの比揮発度が塔の上部から下部まで一定の場合、$α_{avg}$は単に$α$となります。しかし、比揮発度が変化する場合には、次のように近似することができます。

$$α_{avg} = \sqrt{(α_t)(α_b)}$$

ここで、$α_t$は塔頂における軽質キーの重質キーに対する比揮発度、$α_b$は塔底における同様の比揮発度です。

他の分野への応用

フェンスケの式は、多成分供給フローの全還流蒸留に利用されるだけでなく、抽出システムにおいても適用できます。この際には、比揮発度の代わりに比溶解度を用い、溶媒抽出法における問題の解決に寄与します。

フェンスケの式の別の形式

フェンスケの式には、ガスクロマトグラフィーに関連する別の形もあります。海軍兵学校の資料などで入手可能なこの式は、一連の凝縮・蒸発サイクルに配されます。次の形で表されることが多いです。

$$\frac{Z_a}{Z_b} = \frac{X_a}{X_b} \left( \frac{P_a^0}{P_b^0} \right)^N$$

ここにおいて、$Z_n$は気相中の成分のモル分率、$X_n$は液相中の同成分のモル分率を、それぞれ示します。

まとめ

このように、フェンスケの式は分留塔の設計や操作において非常に重要であり、化学工学における効率的なプロセス開発において重要な役割を果たしています。

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