フリードマン数

フリードマン数（Friedman number）

フリードマン数とは、ある自然数を構成する数字の集合すべてを用い、四則演算（加減乗除）、累乗、および複数個の数字を連結させて一つの数とする操作（例: 1と2で12を作る）を組み合わせて計算式を作成した際に、元の数と等しくなるように表現できる数のことを指します。ただし、数字の連結のみによって元の数となる場合は、フリードマン数とは見なされません。

この興味深い数の概念は、数学者エリック・フリードマンによって提唱されました。具体的な例を見てみましょう。25 は数字の2と5から成り立ち、5² = 25 と計算できるためフリードマン数です。また、153 は数字の1, 5, 3を用いて 51 × 3 = 153 と表せます。289 は数字の2, 8, 9から (8 + 9)² = 289 となる例です。

最初のいくつかのフリードマン数は以下の通りです。

25 = 5²
121 = 11²
125 = 5¹⁺²
126 = 6 × 21
127 = 27 − 1
128 = 2⁸⁻¹

他にも多数のフリードマン数が見つかっています。

ナイスフリードマン数

フリードマン数の中でも、計算式を作る際に元の数に含まれる数字の並び順をそのまま保つものをナイスフリードマン数 (nice Friedman number) と呼びます。ナイスフリードマン数の最小の例は 127 とされており、これは −1 + 27 や 27 − 1 のように表現できる例として挙げられます。他の例としては、343 = (3 + 4)³、736 = 7 + 36 などがあります。

大きな数でもナイスフリードマン数は存在し、例えば8桁のぞろ目である 99,999,999 もナイスフリードマン数です。興味深いことに、24桁以上のぞろ目数は、位取り記数法に関わらず常にナイスフリードマン数となることが証明されています。

フリードマン数の性質

フリードマン数には、数論的に見て興味深い性質がいくつか知られています。

連続するフリードマン数: 250000から250099までの連続した100個の整数は、すべてフリードマン数です。
特定の累乗数: 5の累乗や、ある範囲の2の累乗はすべてフリードマン数です。
n進法の121: どんなn進法で表記しても、121は常にフリードマン数となります。
素数フリードマン数: フリードマン数の中には素数も含まれ、最小の素数フリードマン数は127です。
ヴァンパイア数との関係: ヴァンパイア数は、全てフリードマン数であることがわかっています。
パンデジタル数: 0から9まですべての数字を含むパンデジタル数の中にも、フリードマン数が見つかっています。

フリードマン数は、数字の組み合わせと演算規則による遊び心と、数学的な構造を併せ持つ魅力的な数のカテゴリです。

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