ブシネスク近似

ブシネスク近似 (Boussinesq approximation)

ブシネスク近似は、流体力学における自然対流の問題に対する解析手法です。この手法は、流体の密度変化が熱膨張によるものに限られ、浮力のみが流体の運動に影響を与えるという前提に基づいています。したがって、密度の変化が運動量の変化に与える影響を無視することができます。

定式化

流体の密度 ρ が温度の変化に伴って変わる場合、ナビエ-ストークス方程式は次のように表されます。

$$
\frac{\partial \rho \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot
abla)(\rho \mathbf{v}) = -
abla p + \mu
abla^2 \mathbf{v} + (\rho - \rho_0)g
$$

この式の右辺の最後の項は、基準密度 ρ0 からの密度変化が引き起こす浮力を示しています。ブシネスク近似では、左辺の密度は基準値から変わらないとし、浮力の項に現れる密度変化は温度変化に比例するという仮定を置きます。

これを基にすると、次のような式に整理できます。

$$
\frac{\partial (\rho_0 \mathbf{v})}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot
abla)(\rho_0 \mathbf{v}) = -
abla p + \mu
abla^2 \mathbf{v} - \rho_0 \beta (T - T_0)g
$$

ここで、T0 は温度の基準値、β は体膨張係数を表します。この式を変形すると、次のようになります。

$$
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot
abla)(\mathbf{v}) = -\frac{1}{\rho_0}
abla p +
u
abla^2 \mathbf{v} - \beta (T - T_0)g
$$

この形において、浮力は非圧縮性のナビエ-ストークス方程式に外力項として追加されており、解析が容易になるという利点があります。

制限

しかし、ブシネスク近似には制限が存在します。具体的には、密度変化による運動量の影響を無視するため、密度変化が大きくなると、この近似は不適切になる可能性があります。温度変化が小さく、すなわち β(T - T0) ≪ 1 が成立する場合にのみ、この手法は有効です。

一般に、空気の場合は温度差が15℃、水の場合は2℃以下のときに、近似の誤差はおおよそ1%程度になります。このため、ブシネスク近似は広く使用されている一方で、その使用には注意が必要です。

この手法は、熱による自然対流の理解を深めるための基本的な解析方法として、特に流体力学の分野において重要な役割を果たしています。

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