ベリーのパラドックス

ベリーのパラドックス

ベリーのパラドックス（ベリーの逆説とも）は、自然言語による数の定義が引き起こす論理的な矛盾、すなわち自己参照的なパラドックスの一つです。このパラドックスは、言葉を用いて数を定義しようとすることの難しさや、その定義の仕方によっては予期せぬ論理的な問題が生じる可能性を示唆しています。

パラドックスの内容

この逆説の中心となるのは、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という一見分かりやすい言葉による定義です。この定義文そのものは、仮に句読点やスペースを含まないとしても、ちょうど19文字から構成されています。

自然数（1, 2, 3, ...）は無限に存在します。一方、日本語で使用できる文字の種類は有限であり、また文字数を19文字までに限定すれば、それらの文字を組み合わせることで作り出せる文字列、すなわち「記述」の総数は有限通りにしかなりません。例えば、使用できる文字の種類がn個だとすれば、1文字から19文字までの文字列の総数は `n^1 + n^2 + ... + n^19` で表される有限の値です。

この事実から、日本語の19文字以内の記述によって表現できる自然数の個数には限りがあることがわかります。無限に存在する自然数の中には、19文字以内の日本語で表現することが不可能な自然数が必ず存在する、ということになります。

そして、19文字以内で表現できない自然数の集まりが存在するならば、その集まりの中で最も小さい自然数も存在するはずです。これは「自然数の整列原理」と呼ばれる性質からも保証されます。したがって、「19文字以内で記述できない最小の自然数」という表現は、特定のただ一つの自然数を明確に指し示しているかのように思えます。

しかし、ここにパラドックスが生じます。

実際に「19文字以内で記述できない最小の自然数」を考えてみましょう。この数は、その定義から当然ながら「19文字以内で記述できない」という性質を持つはずです。ところが、まさしくこの数を定義するために使用した「19文字以内で記述できない最小の自然数」という言葉は、他でもない19文字ちょうどで構成された表現です。これは、定義された数自身が、その数を定義しようとした19文字の表現によって「記述されてしまっている」ことを意味します。

つまり、「19文字以内で記述できない」はずの数が、実際には19文字で記述できてしまう、という決定的な矛盾が生じてしまうのです。

問題点と回避

ベリーのパラドックスは、自然言語の曖昧さや、定義の自己参照性が引き起こす論理的な問題点を浮き彫りにします。特に、定義される対象（この場合は特定の自然数）が、その定義自身の中で言及される（「記述できない」という条件によって）形式をとるときに、このような逆説が生じやすくなります。

数学の基礎を厳密に構築しようとする現代の公理系、例えばツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）などでは、このような自然言語による非形式的な定義の方法は許容されません。ZFCでは、集合や数の存在、そしてそれらの性質を定義する際には、事前に定められた厳密なルール（公理）に従う必要があります。これにより、自己参照的な定義や曖昧な言葉遣いによって生じるパラドックスを回避しています。

関連するパラドックス

自然言語による数の定義に関連する有名なパラドックスとしては、リシャールのパラドックスがあります。リシャールのパラドックスは実数の定義に関連しており、ベリーのパラドックスと構造が似ているため、しばしば混同されたり、同じ種類の問題として扱われたりします。ただし、ベリーのパラドックスは実数を構成する必要がなく、より基本的な自然数に関する議論で説明できるため、リシャールのパラドックスよりも概念的に平易であると言われることがあります。

名称の由来

このパラドックスの名前は、イギリスの図書館職員であったG.G.ベリーに由来します。彼は哲学者で数学者でもあるバートランド・ラッセルにこの問題を提示し、ラッセルが自身の著作で紹介したことで広く知られるようになりました。

ベリーのパラドックスは、論理学や数学基礎論において、形式的な言語と自然言語の間の違いや、自己参照が論理システムにもたらす影響を理解する上で重要な例とっかかりとなります。それは、数学的な対象を扱う際には、曖昧さのない厳密な定義が必要であることを改めて示しています。

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