ベルグマン計量

ベルグマン計量について

ベルグマン計量（Bergman metric）は、微分幾何学において特定の複素多様体上で定義されるエルミート計量です。この計量は、複素多様体の特性や構造を分析するための重要な道具であり、ステファン・ベルグマンの名前にちなんで名付けられました。

定義

まず、領域 G を複素数の n 次元空間 ${\mathbb{C}}^n$ 内の部分集合とします。G 上のベルグマン核を ${K(z,w)}$ とし、点 z ∈ G に対して接束 ${T_z{\mathbb{C}}^n}$ 上のエルミート計量 ${g_{ij}(z)}$ を以下のように定義します。

$$
g_{ij}(z) := \frac{\partial^2}{\partial z_i \partial {\bar z}_j} \log K(z,z)
$$

この式により、接ベクトル ${\xi} \in T_z{\mathbb{C}}^n$ の長さは次のように定義されます。

$$
|\xi|_{B,z} := \sqrt{\sum_{i,j=1}^{n} g_{ij}(z) \xi_i {\bar \xi}_j}
$$

ベルグマン計量は、G 上のすべての点 z においてこの方法で計算され、特にその行列は正定値であることが重要です。

曲線の長さ

C1 曲線 ${\gamma}: [0,1] \to {\mathbb{C}}^n$ の長さは、以下の式を用いて計算されます。

$$
\ell(\gamma) = \int_{0}^{1} |\frac{\partial \gamma}{\partial t}(t)|_{B,\gamma(t)} dt
$$

ここで、2 点 p, q ∈ G の間の距離は次のように定義されます。

$$
d_G(p,q) := \inf \{ \ell(\gamma) \mid \text{すべての区分的 C1 曲線 } \gamma \text{ について } \gamma(0) = p, \gamma(1) = q \}
$$

この距離は「ベルグマン距離」と呼ばれ、複素多様体の特性を考える上での基本的な指標となります。特に、領域 G が有界である場合、ベルグマン計量は各点において正定値行列を形成し、その性質が強調されます。

双正則写像の不変性

さらに重要な点として、ベルグマン距離 d_G は、領域 G から別の領域 G′ への双正則写像において不変であることが知られています。すなわち、双正則写像 f: G → G′ に対して、次の関係が成り立ちます。

$$
d_G(p,q) = d_{G'}(f(p),f(q))
$$

これにより、ベルグマン計量が幾何学的構造の不変性を持つことが確認されます。

参考文献

この情報は、Steven G. Krantzの著書『Function Theory of Several Complex Variables』に基づいています。記事の詳細は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンスの元、オンライン数学辞典『PlanetMath』に掲載されています。

ベルグマン計量は、複素多様体における幾何学的性質を深く理解するための貴重なツールであり、他の多くの数学的話題と関連しています。

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