ベルトランの逆説

ベルトランの逆説

ベルトランの逆説は、確率論において古典的解釈がどのように問題を引き起こすかを示す興味深い例です。この逆説は、フランスの数学者ジョゼフ・ベルトランが「Calcul des probabilités」において述べたもので、確率変数の定義が不明確な場合に生じる混乱を扱っています。具体的には、円に内接する正三角形を用いた問題が提起され、その中でどのように弦を選ぶかによって異なる確率の結果が得られることが示されます。

問題の定式化

ベルトランの逆説は、次の問いに基づいています：「円の中にある正三角形を考えて、その円の弦を一本無作為に選んだ場合、その弦が正三角形の辺よりも長くなる確率はどれほどか？」この問題には、3つの異なる無作為な選び方があり、これにより確率の結果が異なることが指摘されています。

1. 無作為な端点方式：円周上の2点を無作為に選び、それらを結んだ弦を考えます。この場合、弦の長さが三角形の辺よりも長い確率は1/3となります。

2. 無作為な半径方式：円の半径を無作為に選び、その上で新たに1点を選び、その点を通る半径に直角になる弦を考えます。この方式では、弦が三角形の辺より長くなる確率は1/2です。

3. 無作為な中点方式：円の内部から無作為に点を選び、その点を弦の中点とした場合、弦の長さが三角形の辺より長くなる確率は1/4です。

こうした選び方によって、確率の結果が異なることが見て取れます。まずは、第一と第二の方法では、選ばれる弦の分布が均一でなく、第三の方法では均一な分布が観察されます。これにより、選ばれ方によって確率が異なるため、この逆説が生じるのです。

古典的な解答

この問題に対する解答は、弦を無作為に選ぶ方法に大きく依存します。つまり、選ぶ方法が明確になれば、その時のみ問題の解も定義されることになります。ただし、選択方法は唯一ではないため、一本の普遍的な解は存在しません。ベルトランが提供した3つの解答は、それぞれ異なる選び方に基づいており、どれが優れているかを説明する理由も存在しません。このような確率に関する解釈のパラドックスは、頻度主義やベイズ確率など、より厳密な確率論の理論の必要性を浮き彫りにしています。

ジェインズの解

1973年にエドウィン・ジェインズは、ベルトランの逆説についての新しい視点を提案しました。彼は「最大無知」の原則に基づいて解を提供し、この問題では特定の位置や大きさに基づくことはできないと述べました。

ジェインズは、円の直径といったサイズに影響されない変化対応の条件を強調し、確率の解は幾何学的な変数に左右されず中立でなければならないとしました。具体的には、円に無作為に弦を滑らせると、他の円の中でも確率が不変であるべきだと考えます。特に、無作為な半径方式がこの性質を満たす解として孤立しています。

実験の意義

ジェインズの考案する「無作為な半径」方式は、この逆説を解決する上での根本的な解であり、実際の物理的実験や統計的な分析においても頻繁に利用されています。加えて、円の中心に回転する部品を設置したり、糖蜜の中で弦の中点を見極めるなど、他の方式を用いて異なる結果を得る実験も可能です。このように、ベルトランの逆説は確率論のフィールドに新たな思考を促し、異なる選択方法に基づく現実的な実験設計を考察する機会を提供します。

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