ポインティング・ベクトル

ポインティング・ベクトル：電磁場のエネルギーの流れ

ポインティング・ベクトルは、空間を伝わる電磁波のエネルギーの流れを記述する重要な物理量です。電磁場のエネルギーが単位時間、単位面積あたりどれだけの量を運んでいるかを表し、その向きはエネルギーの流れの方向を示します。このベクトルは、19世紀後半にジョン・ヘンリー・ポインティングによって発見され、彼の名にちなんで命名されました。

定義と計算

ポインティング・ベクトル S は、電場 E と磁場 H を用いて次のように定義されます。

S = E × H

ここで、× はベクトル積を表します。この式は、電場と磁場のベクトルの向きと大きさを考慮して、エネルギーの流れの方向と大きさを計算することを意味します。真空中の場合、磁束密度 B と真空の透磁率 μ₀ を用いて、以下の式で表すこともできます。

S = (1/μ₀) (E × B)

媒質中では、媒質の透磁率 μ を考慮する必要があり、μ = μsμ₀ （μsは比透磁率）となります。

ポインティング・ベクトルと電磁波の進行方向

多くの場合、ポインティング・ベクトルは電磁波の進行方向を示します。そのため、「指す（pointing）」という名前から、常に進行方向を示すと誤解されることもありますが、これは必ずしも正しくありません。特に異方性媒質中では、ポインティング・ベクトルと電磁波の進行方向は一致しない場合があります。異方性媒質とは、媒質の性質が方向によって異なる物質のことを指します。

エネルギー保存則

ポインティング・ベクトルは、電磁場のエネルギー保存則と密接に関連しています。ポインティング・ベクトルの発散は、電磁場のエネルギー密度変化と電荷への仕事率の和で表されます。この関係は、次の連続の方程式で表現されます。

∇ ⋅ S = - ∂u/∂t - J ⋅ E

ここで、u は電磁場のエネルギー密度、J は電流密度です。この式は、電磁場のエネルギーが時間的に変化する様子、そして電流が電磁場からエネルギーを受け取る様子を表しています。右辺の J ⋅ E は、ローレンツ力によって電磁場が電荷に与える仕事率を表し、単位体積あたりの電力と解釈できます。

時間平均と放射束密度

電場と磁場は通常振動しているため、ポインティング・ベクトルの強度は時間とともに変化します。この時間的な変化を平均したものを放射束密度と呼びます。放射束密度は、単位時間、単位面積あたりに伝わる電磁波の平均エネルギーを表します。

空間積分と運動量

ポインティング・ベクトルの空間積分は、電磁場の持つ全運動量と解釈されます。これは、電磁波が持つ運動量を計算する上で重要な概念です。

まとめ

ポインティング・ベクトルは、電磁場のエネルギーの流れを記述する強力なツールです。その定義、エネルギー保存則との関係、時間平均、空間積分などを通して、電磁波の性質を深く理解する上で重要な役割を果たしています。電磁気学、特に電磁波の伝播やアンテナ理論などの分野において、広く利用されています。

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