マクスウェル・ベティの相反作用の定理

マクスウェル・ベティの相互作用の定理

マクスウェル・ベティの相互作用の定理は、1872年にエンリコ・ベッチによって発見された、構造力学における重要な原理です。この定理は、弾性体に二種類の荷重が作用した場合の変位に関する関係を示します。

定理の概要

定理では、二種類の荷重群が考慮されます。最初の荷重群を{P_{i}|i=1,2,…}とし、二つ目の荷重群を{P'_{k}|k=1,2,…}とします。まず、一つ目の荷重群のみを作用させた際の、二つ目の荷重群に関連する点の変位をu_{k}と表記し、逆に二つ目の荷重群だけを作用させた際の、一つ目の荷重群に関連する点の変位をu'_{i}と表します。すると、以下の関係が成立します：

$$
ext{∑} P_{i}u'_{i} = ext{∑} P'_{k}u_{k}
$$

この関係は、荷重がそれぞれの点にどのように影響を及ぼすかを示し、特に意味を持ちます。

特殊な場合

特に、一つ目の荷重群と二つ目の荷重群それぞれに対して、$i = k = 1$、$P_{1} = P'_{1} = 1$とすると、以下のような特別な関係が導かれます：

$$
u_{A}' = u_{B}$$

ここで、点Aに作用する単位荷重が点Bに与える変位量が、点Bに作用する荷重の方向への変位成分に等しいことを示しています。

証明

この定理の証明は比較的単純です。まず、$i = k = 1$とし、弾性体に作用を与える力$P_{A}$と$P_{B}$の条件下で、2つの異なる手順で作用を与えた場合を考えます。

手順1：$P_{A}$を作用させた後に$P_{B}$を作用させる

1. $P_{A}$をかけた際、点Aの変位を$u_{AA}$、このときの外力仕事は$rac{1}{2}P_{A}u_{AA}$。
2. 次に$P_{B}$をかけると、点Aと点Bの変位はそれぞれ$u_{AB}, u_{BB}$になり、外力仕事は$rac{1}{2}P_{B}u_{BB} + P_{A}u_{AB}$。

手順2：$P_{B}$を作用させた後に$P_{A}$を作用させる

1. $P_{B}$をかけたときの点Bの変位を$u_{BB}$、この時の外力仕事は$rac{1}{2}P_{B}u_{BB}$。
2. 次に$P_{A}$を作用させ、点Aと点Bの変位はそれぞれ$u_{AA}, u_{BA}$となり、外力仕事は$rac{1}{2}P_{A}u_{AA} + P_{B}u_{BA}$。

弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは経路に依存しないため、これらの手順によって得られる外力仕事の和は等しくなければなりません。したがって、次の等式が成立します:

$$
rac{1}{2}P_{A}u_{AA} + rac{1}{2}P_{B}u_{BB} + P_{A}u_{AB} = rac{1}{2}P_{B}u_{BB} + rac{1}{2}P_{A}u_{AA} + P_{B}u_{BA}
$$

この結果から、

$$P_{A}u_{AB} = P_{B}u_{BA}$$

が成り立ち、マクスウェル・ベティの相互作用の定理が証明されます。

関連項目

• - ダランベールの原理
• - 相反定理

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