ミラー指数

ミラー指数とは

ミラー指数（Miller index）は、結晶の格子における面や方向を示すために用いられる数値です。イギリスの鉱物学者ウィリアム・ハロウズ・ミラーによって発表されました。この指数は、結晶が持つ特性を理解する上で非常に重要な役割を果たします。ミラー指数には「面指数」と「方向指数」の二つの種類があり、それぞれが結晶に対する異なる情報を提供します。

面指数と方向指数

面指数

面指数は結晶面を指定するためのもので、一般に（hkl）という形式で表現されます。ここで、h、k、lは面が結晶軸に交わる位置の逆数に基づいて決定されます。具体的には、結晶の各軸に対して1/k、1/l、1/mの位置で交わる平面を示します。結晶においては、異なる面が同じ性質を持つ場合があり、この様な面を等価なものとして{hkl}と表すことがあります。

方向指数

方向指数は結晶内部での方向を示すもので、[KLM]という形式で記述されます。導入される結晶軸が

• - a₁
• - a₂
• - a₃ という三つのベクトルとなる場合、任意のベクトルAは整数の組K、L、Mを用いて、A = K a₁ + L a₂ + M a₃と表されます。このとき、方向指数は[方向]と呼ばれ、K、L、Mには通常カンマは用いられず、一部は負の成分としてバーがつけられ表記されます。

六方晶とそれ以外の結晶

ミラー指数の使用方法は、六方晶系とそれ以外の結晶で異なる点あるため、注意が必要です。六方晶系の場合は、六方晶指数と呼ばれ、一般的な手法ではない特有の指数が用いられます。六方晶系では、特定の面や方向に対して異なる計算法が必要となるため、理解には注意が必要です。

対称性と等価な方向

結晶学では対称性が重要な要素です。特に、結晶の対称性に基づいた等価な方向指数は、その中で最もシンプルなものを代表にする場合が多いため、同じグループの指数をまとめて表すことがあります。例えば、単純立方晶では、[100]、[010]、[001]、[−100]、[0−10]、[00−1]は全て対称性から同一視され、⟨100⟩として表現されます。

結論

このように、ミラー指数は結晶面や方向を記述する基本的な手段であり、結晶学を学ぶ上での重要な基礎です。面指数と方向指数の理解が、結晶の性質や挙動を明らかにし、より深い情報を引き出す手助けとなります。

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