ミルマンの定理

ミルマンの定理

ミルマンの定理（英語: Millman's theorem）は、複数の電圧源が直列アドミタンスをもって並列接続された電気回路において出力電圧、すなわち開放電圧を計算するための重要な理論です。この定理は、全電圧の定理あるいは帆足-ミルマンの定理とも呼ばれ、電気回路解析において広く利用されています。

定理の定義

ミルマンの定理によれば、各電圧源の電圧を V_i 、それぞれの電源部のアドミタンスを Y_i とした場合、電気回路の出力電圧 V_0 は次の式で求められます。

$$
V_{0}={rac { extstyle egin{matrix} extstyle extstyle loatplus extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle \ \ \ \ extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle \ extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle \ &&& \ extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle \ \ \ \ extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle ; \ extstyle extstyle Y_iV_i \ extstyle Y_i }} extstyle Y_i \ }{ extstyle egin{matrix} extstyle extstyle extstyle Y_i \ extstyle extstyle extstyle Y_i \ extstyle extstyle extstyle Y_i extstyle extstyle extstyle \ extstyle extstyle extstyle extstyle \ extstyle extstyle Z_i \ extstyle extstyle Z_i \ extstyle rac{Y_i}{1} extstyle extstyle \ extstyle extstyle \ \ extstyle extstyle extstyle extstyle extstyle Y_i extstyle extstyle extstyle \ \ extstyle \ \ \} extstyle Y_i}}{ extstyle egin{matrix} extstyle extstyle Y_i \ extstyle extstyle extstyle Y_i \ extstyle extstyle extstyle Y_i extstyle extstyle extstyle \ extstyle extstyle extstyle extstyle \ extstyle extstyle \ \ extstyle extstyle Y_i extstyle extstyle extstyle \ \ extstyle \ \ \} extstyle Y_i}}{{ extstyle egin{matrix} extstyle extstyle Y_i extstyle extstyle extstyle \ extstyle extstyle Y_i } extstyle Y_i}}}
$$

ここで、∑は合計を意味し、Nは接続された電圧源の数を示します。この式により、各電圧源の寄与をそのアドミタンスに基づいて計算し、全体の出力電圧を導き出すことが可能です。

全電流の定理

ミルマンの定理には、双対に位置する全電流の定理があります。これは、並列インピーダンスを持つ複数の電流源が直列に接続された場合の短絡電流を求めるための理論です。各電流源の電流を I_i 、それぞれのインピーダンスを Z_i とした場合、短絡電流 I_0 は次の式で計算されます。

$$
I_{0}={rac { extstyle egin{matrix} extstyle extstyle extstyle Z_iI_i \ extstyle extstyle Z_i \ extstyle \ \ } extstyle Y_i \ }{ extstyle egin{matrix} extstyle Z_iY_i\ extstyle \ } extstyle Y_i}}}
$$

こちらも同様に、各電流源の寄与をインピーダンスで重み付けすることで短絡電流を算出できるのです。

まとめ

ミルマンの定理及びその双対全電流の定理は、電気工学において重要な役割を果たし、複雑な回路解析を簡素化するための有力なツールとなります。この理論を適用することで、電気回路の設計や解析において効率的に作業を進めることができます。今後もこの定理を活用した電気回路の理解が深められることを期待しています。

もう一度検索