モーリーの定理

モーリーの定理

モーリーの定理は、初等幾何学の分野に位置づけられる、三角形に関する有名な数学的定理です。1899年、アメリカの数学者であるフランク・モーリーによってその証明が発表されました。この定理は、任意の三角形が持つある驚くべき性質を明らかにしています。

定理の概要

どのような形の三角形であっても、その内角をそれぞれ三等分する線を引くと、必ず一つの正三角形が現れるというのが、モーリーの定理の主要な内容です。

具体的に考えてみましょう。三角形ABCを任意に一つ用意します。この三角形の3つの頂点A, B, Cそれぞれの内角（∠BAC, ∠ABC, ∠ACB）を、それぞれ三等分する線を引きます。例えば、頂点Aからは∠BACを3等分する2本の線が、頂点Bからは∠ABCを3等分する2本の線が、頂点Cからは∠ACBを3等分する2本の線が引かれるため、合計で6本の線が三角形の内部に描かれることになります。

モーリーの定理が注目するのは、これらの三等分線の特定の交点です。各辺、例えば辺BCに着目したとき、頂点Bから引かれた∠ABCの三等分線のうち辺BCに近い方の線と、頂点Cから引かれた∠ACBの三等分線のうち辺BCに近い方の線の交点を考えます。同様に、辺CAについて、頂点Cからの線と頂点Aからの線のうち、辺CAに近い方の線の交点を考え、さらに辺ABについても同様に交点を考えます。これらの3つの交点を結んでできる三角形は、元の三角形の形に関わらず、必ず正三角形になるというのがモーリーの定理です。この正三角形はしばしば「第一モーリーの三角形」と呼ばれています。

発展的な内容

モーリーの定理には、この第一モーリーの三角形以外にも関連する興味深い結果があります。例えば、内角の三等分線だけでなく、三角形の外角を三等分する線や、内角と外角を組み合わせた特定の角度で引いた線からも、同様に複数の正三角形が生じることが知られています。これらは「第二モーリーの三角形」、「第三モーリーの三角形」などと呼ばれ、モーリーの定理が持つ豊かな構造の一端を示しています。

証明の難しさとアプローチ

この定理の主張自体は非常にシンプルで理解しやすいものですが、その証明は必ずしも容易ではありません。モーリーの定理にはいくつかの証明方法が存在しますが、どれも初等幾何学の知識を駆使したり、三角法を用いた複雑な計算を行ったりする必要があります。

多くの証明で共通して見られる一つのアプローチは、定理の結論である「正三角形ができる」という事実を逆向きにたどる方法です。つまり、三等分線の交点からできる三角形が正三角形であることを直接示すのではなく、まずある特定の条件を満たす正三角形を先に図中に描き、その正三角形の頂点が元の三角形の内角の三等分線上にあることを示す、という手法がよく用いられます。これは、定理の主張から直接証明を進めるよりも、しばしば見通しが良くなる場合があります。

また、提供された情報にも示されているような三角関数を用いた代数的な証明も有力な手法の一つです。この方法では、元の三角形の各内角を3つの角度a°, b°, c°に分割できると考え（例えば元の三角形の角が3a°, 3b°, 3c°であるとする）、三角形の辺の長さや三等分線の交点までの距離をこれらの角度と三角関数を用いて表現します。そして、得られた式を計算することで、交点によって作られる三角形の3辺の長さが全て等しいこと（つまり正三角形であること）を証明します。この計算過程では、特定の三角関数の恒等式（例えばsin 3θの展開式など）や、正弦定理、余弦定理が重要な道具として用いられます。比較的計算量は多くなりますが、厳密に定理の正しさを示すことができます。

モーリーの定理は、幾何学的な直感だけでは容易に予測できないような、図形の隠された美しい性質を明らかにする点で、数学の中でも特に魅力的な結果の一つとされています。初等幾何学における、角度の三等分という操作が生み出す美しい調和を示す典型的な例と言えるでしょう。

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