モール–マスケローニの定理

モール–マスケローニの定理について

モール–マスケローニの定理は、数学の作図に関する重要な知見を提供しています。この定理は、定規とコンパスを用いた作図が可能なあらゆる幾何的問題が、コンパスのみでも解決できることを示しています。1672年にゲオルグ・モールによって発表されましたが、その証明は1928年になるまで久しく忘れられていました。マスケローニは1797年にこの現象を再発見し、独自に証明しました。

歴史的背景

18世紀に活躍したイタリアの数学者、ロレンツォ・マスケローニは、ユークリッド幾何学において、与えられた条件が点で表される限り、任意の作図がコンパスだけで実現可能であることを発見しました。これは、通常なら定規を使わなければ描けない直線が、2点を指定することによりコンパスのみで決定できることから来ています。

マスケローニはこの理論を彼の著作『コンパスによる幾何学』の中で発表しました。さらに、1890年には幾何学者アウグスト・アドラーが新たな証明を発表しました。モールの発表から数世代後の1928年、デンマークの数学者ヨハネス・イェルムスレウは、モールの著作『ダキア人エウクレイデス』を偶然発見しました。その中には、マスケローニによる定理の異なる証明が含まれていたのです。

定理の内容

この定理の中心的な主張は、定規とコンパスを用いて新しい点を作成する方法は、次の三つの方法に制限されることです：
1. 二つの円の交点
2. 円と直線の交点
3. 二つの直線の交点

これらの方法により新たな点を作成することは、有限回の過程で実現されます。特に注意すべきは、二つの円の交点は明らかにコンパスだけで求められるため、定理は他の二つのケースにも適用できることを証明しています。

即ち、円と直線の交点や直線同士の交点も、コンパスのみで描けるという主張は、定規を使用する必要がないことを示しています。これにより、定理の重要性が一層強調されます。

現代における評価

モールとマスケローニ自身の証明は難解でしたが、その後の20世紀では、より簡明な証明が発表され、数学コミュニティに新たな理解をもたらしました。この定理は、幾何学の基本的な作図技術に対する理解を深化させ、数学教育においても重要な役割を果たしています。

まとめ

モール–マスケローニの定理は、幾何における作図の可能性を示す重要な基礎理論です。定義から数世代を経て詳細な証明が得られ、多くの数学者によって評価されています。この定理を理解することで、より深い幾何学の知識を得ることができるでしょう。

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