ヤコビの四平方定理

ヤコビの四平方定理

ヤコビの四平方定理（Jacobi's four square theorem）は、自然数を高々4つの平方数の和として表現する方法の数を定量化する重要な数学の定理です。この定理は、ドイツの数学者ヤコビに名付けられ、彼が楕円関数論を用いて証明したことに由来しています。

定理の概要

この定理において、ある自然数 N を高々4つの平方数の和で表す方法の数は次のように表現されます。

$$
r_{4}(N) = 8igg( ext{要素の総和}igg)
$$

ここで、シグマ記号は、Nの約数の中で4で割り切れないものを考慮し、1とNを含めたこれらの約数の総和を示します。具体的には、$N$ が1以上の自然数であれば、

$$
r_{4}(N) ext{は常に}
geq 8
$$

となります。これは、ヤコビの四平方定理がラグランジュの四平方定理の結果を包括していることを示します。

ヤコビの四平方定理とラグランジュの四平方定理

ヤコビの定理は、既存のラグランジュの四平方定理を拡張する形で位置づけられています。具体的には、ラグランジュの定理によれば、任意の自然数は4つの平方数の和として表すことができるという基本的な結果がありますが、ヤコビの定理ではその表現方法の数を明確に示した点が新しいとされています。

証明の過程

この定理の証明には、ヤコビが使った楕円関数論を利用する必要があります。また、この定理はガウスが彼の著作『整数論』の第182条で述べた内容とも同等です。

具体例

例えば、N = 12の場合、ヤコビの定理に従い、次のように計算できます:

$$
r_{4}(12) = 8(1 + 2 + 3 + 6) = 96
$$

実際には、12を4つの平方数の和で表現する方法は、以下のように多岐にわたります:

• - $12 = (oldsymbol{ ext{±2}})^{2} + (oldsymbol{ ext{±2}})^{2} + (oldsymbol{ ext{±2}})^{2} + 0^{2}$
• - $12 = 0^{2} + (oldsymbol{ ext{±2}})^{2} + (oldsymbol{ ext{±2}})^{2} + (oldsymbol{ ext{±2}})^{2}$
• - $12 = (oldsymbol{ ext{±3}})^{2} + (oldsymbol{ ext{±1}})^{2} + (oldsymbol{ ext{±1}})^{2} + (oldsymbol{ ext{±1}})^{2}$

このように、符号や順序を正確に考慮すれば、12を表現する方法は96通りに達します。

参考文献

• - ガウス, C・F・著、高瀬正仁 訳『ガウス整数論』朝倉書店, 1995年.
• - ハーディ, G・H・他著、示野信一・矢神毅 訳『数論入門』 I、丸善出版, 2012年.

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