ラマヌジャンの和公式

ラマヌジャンの和公式

ラマヌジャンの和公式（Ramanujan's summation formula）は、q超幾何級数である

\[ {_{1}\psi _{1}}\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right;q,z\right] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}} z^{n} = \frac{(az;q)_{\infty} (q;q)_{\infty} \left(\frac{q}{az};q\right)_{\infty} \left(\frac{b}{a};q\right)_{\infty}}{(z;q)_{\infty} (b;q)_{\infty} \left(\frac{b}{az};q\right)_{\infty} \left(\frac{q}{a};q\right)_{\infty}} \quad (|q|<1,|b/a|<|z|<1) \]

に表される公式です。この式は、無限に広がる和の形で様々な数学的、物理的応用があります。特に、数論や数式の解析において重要な役割を果たします。

証明

ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導出されます。まず、nが負の整数であるとき、以下のように表現されます。

\[ \frac{1}{(q;q)_{n}} = \prod_{k=n}^{-1} (1 - q^{1+k}) = 0 \quad (-n \in \mathbb{N}) \]

ここからq二項定理が導かれ、以下の式が成立します。

\[ \frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}} z^{n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}} z^{n} \]

次に、kを任意の正の整数とし、この表現を利用します。

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a;q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}} z^{n} \] は、恐らく無限に広がる項からなる算術的な挙動を示します。

また、変換条件を用いて、以下のように変化します。

\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}} z^{n} = \frac{(az;q)_{\infty} (q;q)_{\infty} \left(\frac{q}{az};q\right)_{\infty} \left(\frac{b}{a};q\right)_{\infty}}{(z;q)_{\infty} (b;q)_{\infty} \left(\frac{b}{az};q\right)_{\infty} \left(\frac{q}{a};q\right)_{\infty}} \quad (|q|<1,|b/a|<|z|<1) \]

ここで、|q|、|z|、|b|がそれぞれ制約を満たす必要があります。これにより、与えられた条件の下でラマヌジャンの和公式が成立します。

結論

ラマヌジャンの和公式は、spa}_mathematical analysisや数論の多くの理論に基づいています。この公式は、無限級数の特性を探る際に特に強力な道具となります。数式の理解は、純粋数学だけでなく、物理学などの他の分野における応用においても重要です。

この公式がもたらす洞察や応用は、数学界において演算の新しい基盤を提供し続けています。

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