ランキン渦

ランキン渦とは

ランキン渦（ランキンの結合渦）は、流体力学において広く考察されている渦の一つです。この渦は、内側に渦度が均一に分布する部分と、その外側に渦のない領域を持っています。主に自由表面を持つ水が、垂直の軸を中心に回転している状況での分析に利用されます。日常の水面にも見られるこの渦は、流れの様子を先入観なく理解するためのシンプルなモデルとして活用できます。

概要

このモデルでは、以下のような仮定に基づいています。

1. 流体は完璧な流体であるとし、粘性やその他の抵抗がないものとする。
2. 流れの速さは高さの方向には依存せず、2次元の平面として考えます。
3. 外力（重力など）はポテンシャルを持つ保存力と見なします。

このように考えると、半径を「a」とした円内には渦度「ω」が均一に分布し、その円外には渦が存在しないと仮定します。そして、この円の内部での速度は円周方向の成分だけを持ち、次のように表されます。

• - 円の内部（r < a）:

v(r) = (ω/2)r

• - 円の外部（r > a）:

v(r) = (ω/2)(a^2/r)

ここで、rは渦の中心からの距離です。圧力に関しては、高さ「z」を考慮に入れると、次のように記述されます。

• - 円の内部（r < a）:

p(r,z) = (ρ/8)ω^2r^2 - ρgz

• - 円の外部（r > a）:

p(r,z) = (ρ/8)ω^2a^2(2 - a^2/r^2) - ρgz

ここで、ρは流体の密度、gは重力加速度に相当します。このモデルでは、無限遠の水面がz=0であると考え、自由表面の圧力p∞は次のように表されます。


p∞ = (ρ/4)ω^2a^2

この式を用いて圧力の式を再定義すると、次のようになります。

• - 円の内部（r < a）:

p(r,z) = (p∞/2)(r^2/a^2) - ρgz

• - 円の外部（r > a）:

p(r,z) = (p∞/2)(2 - a^2/r^2) - ρgz

このように圧力を定義することで、流体の振る舞いや特性を理解する手助けとなります。

水面の形状

水面の形状は、圧力pが圧力p∞に等しい高さいわゆる水平面で決定されます。具体的には、次のように表現されます。

• - 円の内部（r < a）:

z|_{p=p∞}(r) = -(p∞/(ρg))(1 - r^2/(2a^2))

• - 円の外部（r > a）:

z|_{p=p∞}(r) = -(p∞/(ρg))(a^2/(2r^2))

この結果から、水面は渦の中では回転する放物面の形態を取り、外部ではr^2に反比例するような凹みを形成します。この凹みの最深部分は次のように示されます。


g = -((p∞)/(ρg)), r = 0 = -((ω^2 a^2)/(4g))

このことから、渦度ωと渦の半径aの積（流速の平方）によって最深部分が決まることが分かります。

まとめ

ランキン渦のモデルは、流体力学における基礎的な概念の一部であり、実践的な応用が多く見られます。研究や学習の素材としても適しており、流体の行動を視覚的に理解するために役立つものといえるでしょう。信頼できる物理学の原則に基づき、多くの異なる状況に適用できるため、重要な研究テーマの一つです。

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