リーマン和

リーマン和：積分を近似する手法

リーマン和は、定積分を近似的に求めるための強力な方法です。連続関数のある区間における積分値を、その区間を多数の小さな小区間に分割し、各小区間における関数の値を用いて面積を計算し、それらの面積を合計することで近似します。小区間の幅を限りなく小さくすることで、近似値は真の積分値に近づきます。

リーマン和の定義

区間 \([a, b]\) 上で定義された連続関数 \(f(x)\) の定積分を考えます。この区間を \(n\) 個の小区間に分割します。各小区間の幅を \(\Delta x_k\) と表すと、

\(a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b\)

各小区間 \([x_{k-1}, x_k]\) 内に代表点 \(\xi_k\) を選びます。\(x_{k-1} \le \xi_k \le x_k\) となります。

このとき、リーマン和 \(R_n\) は以下の式で定義されます。

\(R_n = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k\)

ここで、\(n \to \infty\) のとき、\(\Delta x_k \to 0\) となり、リーマン和は定積分値に収束します。

\(\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \Delta x_k\)

リーマン和の種類

代表点の選び方によって、リーマン和にはいくつかの種類があります。代表点として各小区間の左端点、右端点、または中点を選ぶことが一般的です。それぞれ、左リーマン和、右リーマン和、中点リーマン和と呼ばれます。

リーマン和の計算例

具体的な計算例として、区間 \([1, 2]\) での関数 \(f(x) = x^2\) の積分を考えます。区間を \(n\) 等分し、各小区間の幅は \(\Delta x = \frac{1}{n}\) となります。

左リーマン和:

\(R_n = \sum_{k=1}^n (1 + \frac{k-1}{n})^2 \frac{1}{n} = \frac{7}{3} - \frac{3}{2n} + \frac{1}{6n^2}\)

右リーマン和:

\(R_n = \sum_{k=1}^n (1 + \frac{k}{n})^2 \frac{1}{n} = \frac{7}{3} + \frac{3}{2n} + \frac{1}{6n^2}\)

\(n \to \infty\) のとき、両方のリーマン和は \(\frac{7}{3}\) に収束します。これは、\(\int_1^2 x^2 dx = \frac{7}{3}\) と一致しています。

歴史的背景

リーマン和は、オイラーによって導入されましたが、当初は積分の近似式として扱われていました。その後、コーシーが積分の定義として採用し、微分の概念に依存しない積分の定義を確立しました。このコーシーによる積分の定義は、微積分学の発展に大きく貢献しました。コーシー以前の積分は、微分の逆演算として定義されていたため、微分の存在なしには定義できませんでした。リーマンの貢献は、積分を独立して定義する枠組みを提供した点にあります。

まとめ

リーマン和は、定積分を近似的に計算するための基本的な手法であり、微積分学の重要な概念です。その歴史的背景と具体的な計算例を通して、リーマン和の理解を深めることができます。様々な関数の積分計算において、リーマン和は近似値を得る上で有用なツールとなります。また、積分の概念を理解する上で、基礎となる重要な概念です。

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