レオンチェフ型関数

レオンチェフ型関数とは

レオンチェフ型関数は、経済学における生産関数や効用関数の一種で、投入要素または財が互いに完全補完的な関係にある場合に用いられます。これは、要素や財が一定の割合で組み合わさる必要があり、どちらか一方だけを増やしても効果がない状況を指します。この関数は、ワシリー・レオンチェフによって導入されました。

概要

レオンチェフ型生産関数では、生産要素が互いに完全補完の関係にあり、要素の投入比率が常に一定です。同様に、レオンチェフ型効用関数では、財が互いに完全補完の関係にあり、財の消費比率が常に一定となります。

数式で表すと、以下のようになります。

math
q = \text{min}\left\{ \frac{z_{1}}{a}, \frac{z_{2}}{b} \right\}


ここで、

`q`：生産量
`z1`：生産要素1の投入量
`z2`：生産要素2の投入量
`a`, `b`：投入量の比率を決定するパラメータ

この関数では、生産要素の投入量は常に `z1/a = z2/b` を満たすように決定されます。つまり、要素1を `a` 単位投入するごとに、要素2を `b` 単位投入する必要があるということです。

レオンチェフ型生産関数は微分不可能であるため、要素投入量の比率と資源制約式から要素需要関数を求めます。効用関数のときも同様に、財の購入量比率と予算制約式から需要関数を求めます。

具体例

1対1の完全補完

例えば、ゴムタイヤ (x1) とスチールホイール (x2) を組み合わせてタイヤ (T) を生産する場合を考えます。タイヤは、ゴムタイヤとスチールホイールがなければ完成しません。このとき、生産関数は以下のようになります。

math
T = \text{min}\left\{ x_{1}, x_{2} \right\}


この場合、ゴムタイヤ1つに対してスチールホイールが1つ必要なので、要素投入量は常に `x1 = x2` を満たすように決まります。

1対4の完全補完

次に、タイヤ (T) と車体 (X) を用いて自動車 (Y) を生産する場合を考えます。自動車1台を生産するには、車体1つに対してタイヤが4つ必要です。このとき、生産関数は以下のようになります。

math
Y = \text{min}\left\{ \frac{T}{4}, X \right\}


この場合、タイヤ4つに対して車体が1つ必要なので、要素投入量は常に `T = 4X` を満たすように決まります。例えば、車体が1台ある場合（X = 1）、タイヤは4つ必要になります（T = 4）。

もしタイヤが5つあり、車体が1つしかない場合、生産できる自動車は1台だけです。

math
Y = \text{min}\left\{ \frac{5}{4}, 1 \right\} = 1


また、タイヤが5つと車体が2台ある場合は、生産できる自動車は1.25台となります（自動車の生産量を連続変数として考えた場合）。

math
Y = \text{min}\left\{ \frac{5}{4}, 2 \right\} = \frac{5}{4}


このように、レオンチェフ型関数は、要素間の固定的な関係を表現するのに役立ちます。

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