ロンスキー行列式

ロンスキー行列式（ロンスキアン）詳解

ロンスキー行列式、またはロンスキアンは、1812年にJózef Hoene-Wronskiによって導入され、1882年にThomas Muirによって命名された行列式です。線形微分方程式の解の線形独立性を調べる上で重要な役割を果たします。

定義

2つの関数f(x), g(x)のロンスキー行列式W(f, g)は、次のように定義されます。

W(f, g) = fg' - gf'

ここで、f'とg'はそれぞれf(x)とg(x)の導関数です。

より一般的に、n個の実または複素数値関数f₁(x), ..., fₙ(x)が区間I上でn-1階まで微分可能である場合、それらのロンスキー行列式W(f₁, ..., fₙ)は次のように定義されます。


W(f₁, ..., fₙ)(x) =


これは、各関数の0階からn-1階までの導関数を並べたn×n行列の行列式です。 fᵢ⁽ʲ⁾(x)はfᵢ(x)のj階導関数を表します。

もし、これらの関数が線形微分方程式の解である場合、アーベルの恒等式を用いることでロンスキー行列式を明示的に計算することができます。

ロンスキー行列式と線形独立性

関数族{fᵢ(x)}が線形従属である場合、ロンスキー行列式の列ベクトルも線形従属となるため、ロンスキー行列式は恒等的に0になります。この性質を利用して、ロンスキー行列式が恒等的に0でないことを示すことで、関数族の線形独立性を証明することができます。

しかし、注意すべき点として、ロンスキー行列式が恒等的に0であることだけでは、線形従属性を結論づけることはできません。Peano (1889)は、x²と|x|xという、連続な導関数を持つにも関わらず、ロンスキー行列式が恒等的に0となるにもかかわらず、0の近傍で線形独立である関数の例を示しました。

線形従属性を確実に結論付けるためには、ロンスキー行列式が区間上で消えること以外にも条件が必要です。例えば、関数が解析的な場合や、特定の条件を満たす場合などは、ロンスキー行列式が消えることが線形従属性を意味します。Wolsson (1989a, 1989b) は、この点に関してより一般的な条件を提示しています。

一般化されたロンスキー行列式

n個の多変数関数に対して、一般化されたロンスキー行列式を定義することができます。これは、各(i, j)成分がDᵢ(fⱼ)で与えられるn×n行列の行列式です。ここで、Dᵢはi階の定数係数の線形偏微分作用素です。

一変数の場合と同様に、関数族が線形従属であれば、すべての一般化ロンスキー行列式は0になります。しかし、逆は一般には成り立ちません。ただし、関数が多項式であるなど、特定の条件下では、すべての一般化ロンスキー行列式が0になることが線形従属性を意味します。ロスは、この結果をロスの定理の証明に利用しました。より一般的な条件については、Wolsson (1989b)を参照してください。

関連概念

カゾラーティ行列式 (Casoratian): 線形差分方程式に対するロンスキー行列式の類似物
ムーア行列 (Moore matrix): 微分を有限体上のフロベニウス準同型に置き換えたロンスキー行列の類似物

ロンスキー行列式は、微分方程式の理論において重要なツールであり、線形独立性の判定だけでなく、様々な応用が考えられます。

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