ロンドン方程式

ロンドン方程式とは

ロンドン方程式（London equation）は、超伝導現象の一つであるマイスナー効果を現象論的に説明するための数式です。この方程式は、フリッツ・ロンドンとハインツ・ロンドンの兄弟によって1921年に提案され、その名がつけられました。ロンドン方程式では、電流の流れる深さに関する特性を表すパラメータとして「ロンドンの侵入長」λ（ラムダ）が用いられています。

ロンドン方程式の基礎

ロンドン方程式は、超伝導体内の電流密度

$$
\mathbf{j}
$$

が磁場のベクトルポテンシャル

$$
\mathbf{A}
$$

に比例するという仮定から出発します。式にすると、以下のようになります。

$$
\mathbf{j} = -\frac{1}{\mu_0 \lambda^2} \mathbf{A}
$$

ここで、

$$
B =
abla \times \mathbf{A}
$$

が成り立ち、係数

$$

• -\frac{1}{\mu_0 \lambda^2}

$$

がロンドン方程式を定義しています。この式は、電流密度と磁場の関係を示しており、両辺にローテーションを取ることで、以下の形に書き換えることが可能です。

$$

abla \times \mathbf{j} = -\frac{1}{\mu_0 \lambda^2} \mathbf{B} \\
(1)
$$

ここで、マクスウェルの方程式に基づいてさらに進めると、以下の式が得られます。

$$

abla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} \\

abla \times (
abla \times \mathbf{B}) = -
abla^2 \mathbf{B} = \mu_0 (
abla \times \mathbf{j})
$$

これを利用して、最終的に得られる形は以下のようになります。

$$

abla^2 \mathbf{B} = \frac{\mathbf{B}}{\lambda^2}
$$

磁場の侵入深さ

ロンドン方程式を用いて、超伝導体内部の磁場の変化を評価してみましょう。超伝導体に外部磁場をかけると、その内部の磁場は以下のように表されます。

$$
\mathbf{B}(x) = \mathbf{B}(0) \exp\left(-\frac{x}{\lambda}\right)
$$

これは、外部からの磁場が超伝導体の内側に向かう際、指数関数的に減少することを示しています。具体的には、深さλで磁場が表面での強度

$$
\mathbf{B}(0)
$$

の1/e倍に低下します。

電流の変化

同様にして、電流密度についても以下のように評価されます。

$$

abla^2 \mathbf{j} = \frac{\mathbf{j}}{\lambda^2} \\
\mathbf{j}(x) = \mathbf{j}(0) \exp\left(-\frac{x}{\lambda}\right)
$$

この結果からも、電流は主に超伝導体の表面を流れていることがわかります。ロンドンの侵入長λは、磁場の侵入具合を示す重要な指標です。

結論

ロンドン方程式は、超伝導体の物理特性を理解する上で欠かせない数学的表現であり、超伝導の概念を深く理解するための基礎を提供しています。超伝導のメカニズムやその応用を探求する上でも、ロンドン方程式は中心的な役割を担います。

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