ワイブル分布

ワイブル分布とは

ワイブル分布は、物体の強度および寿命を統計的に表現するために用いられる確率分布です。1939年にワロッディ・ワイブルによって提唱され、様々な工業や科学分野で広く利用されています。特に、物体の劣化や故障の解析においてその有効性が認められています。主に、最 слабとなる部分が全体の破損を引き起こす「最弱リンクモデル」に基づいており、このため、特定の条件下での強度を測定できます。

定義と式

ワイブル分布の確率密度関数は次の式によって表されます。

$$ f(t) = \frac{m}{\eta} \left( \frac{t}{\eta} \right)^{m-1} \exp\left\{ -\left( \frac{t}{\eta} \right)^{m} \right\} $$

ここで、$m$はワイブル係数（形状パラメータ）、$\eta$は尺度パラメータを示します。また、平均値は次の式で表されます。

$$ \mu = \eta \Gamma\left( 1 + \frac{1}{m} \right) $$

このように、ワイブル係数$m$により、分布の形状が異なり、$m=1$の場合は指数分布、$m=2$の場合はレイリー分布になります。

応用例

ワイブル分布は、物体の脆性破壊や強度分析を行う際に多く用いられています。特に材料の種類に応じて異なるワイブル係数$m$が用いられ、大きい値を持つ材料は強度のばらつきが少なく、信頼性が高いことを示します。また、電圧、温度、応力などの継続的な負荷による故障の解析にも適用され、特定の部品が寿命を迎える時期の推定が可能です。1950年代以降、部品の劣化や寿命に関する分析が進む中で広く用いられるようになりました。

故障率の分析

時間に対する故障率は次のように定義されています。

$$ \lambda(t) = \frac{m}{\eta^{m}} t^{m-1} $$

この故障率は、ワイブル係数$m$によって異なる性質を持ちます。具体的には以下のように分類されます:

• - $m < 1$の場合、初期の故障率が低下していく性質
• - $m = 1$の場合は故障率が一定で偶発的な故障
• - $m > 1$の場合、故障率が増加していく摩耗的な故障

さらに、物体や部品の信頼性、すなわち故障しない確率は、次の式で表されます。

$$ R(t) = \exp\left\{ -\left( \frac{t}{\eta} \right)^{m} \right\} $$

不信頼度は、これに従い、次のように計算されます。

$$ F(t) = 1 - R(t) = 1 - \exp\left\{ -\left( \frac{t}{\eta} \right)^{m} \right\} $$

ワイブルプロット

実際の信頼性試験データを基にワイブル分布への適合を試みる際、ワイブルプロットが役立ちます。こちらは時間と不信頼度の関係を直線的に示して、ワイブル係数$m$を求める方法です。この場合、次のように変形します。

$$ \ln\left\{ \ln\left( \frac{1}{1 - F(t)} \right) \right\} = m \ln t - m \ln \eta $$

これにより、$\ln t$を横軸、$\ln\left( \ln\left( \frac{1}{1 - F(t)} \right) \right)$を縦軸にプロットすることで、得られた直線からワイブル係数$m$を求めることができます。

まとめ

ワイブル分布は、物体の寿命や強度、さらに故障や劣化の解析においてその有用性が証明されており、多くの分野で活用されています。信頼性工学における重要なツールとして広く認識されています。

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