ヴィタリの収束定理

ヴィタリの収束定理

ヴィタリの収束定理は、イタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリに由来し、実解析や測度論の分野で重要な役割を果たしています。この定理は、アンリ・ルベーグの優収束定理を一般化したものであり、特に一様可積分性を基にした強力な収束条件を提供します。関数列が収束する際、支配関数を見つけられない場合に特に有用な道具となります。これにより、収束の性質を探る際の道筋を与えてくれます。

定理の内容

定理は正の測度空間
(X，F，μ) で定義され、測度 μ(X) が有限の場合に適用されます。以下の条件が整うとき、

• - 関数列 {f_n} が一様可積分である。
• - 関数 f_n(x) が点ごとに f(x) に収束する（ほぼ至る所収束）。
• - f(x) の絶対値がほぼ至る所で有限である。

これらの条件を満たすならば、次の結論が導かれます。

1. 関数 f は可積分（L^1(μ) に属する）。
2. 関数列の差の積分が収束する。

具体的には、
$$ ext{lim}_{n o ext{∞}} ext{∫}_X |f_n - f| dμ = 0$$
が成り立ちます。

証明の概要

定理の証明にはファトゥの補題が使用され、まず一様可積分性が考慮されます。この性質により、特定の集合 E に対して、
$$ ext{μ}(E) < δ$$
である限り、
$$ ext{∫}_E |f_n| dμ < 1$$
となります。また、エゴロフの定理を用いることで、関数列 f_n が E^C 上で一様に収束することが示されます。

次に、十分大きなpを設定し、すべてのn > p に対し、
$$ ext{∫}_{E^C}|f_n - f_p| dμ < 1$$
が成立することが確認されます。これにより、三角不等式を適用することで、関数の上界を導き出せます。これらの不等式が成り立つことで、定理の主張が証明されます。

定理の逆

また、定理の逆も示されています。もし関数列 {f_n} が L^1(μ) に属し、任意の集合 E においてその平均値が収束するならば、その関数列は一様可積分であるといいます。

参考文献

• - Folland, Gerald B. (1999). Real analysis. Pure and Applied Mathematics (New York) (Second edition ed.). New York: John Wiley & Sons Inc.
• - Rosenthal, Jeffrey S. (2006). A first look at rigorous probability theory (Second edition ed.). Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.

外部リンク

• - Vitali convergence theorem - PlanetMath

このように、ヴィタリの収束定理は、特定の収束条件下の関数の振る舞いを理解する上で非常に強力で、実解析や測度論の研究で広く参照される重要な定理です。

もう一度検索