交互階乗
自然数 n に対して定義される交互階乗（こうごかいじょう、英語では alternating factorial と呼ばれます）は、階乗数を特別な規則に従って足し引きすることで得られる数列です。具体的には、n番目の交互階乗 af(n) は、1! から n! までの階乗数を、交互に符号を変えながら足し合わせたものとして定義されます。
その定義式は以下のように表されます。
af(n) = Σ[i=1 to n] (-1)^(n-i) i!
この式は、i=1 の項に (-1)^(n-1) を、i=2 の項に (-1)^(n-2) を、...、i=n の項に (-1)^(n-n) = (-1)^0 = 1 を掛けたものを合計するという意味です。
例として、いくつか交互階乗の計算を見てみましょう。
n = 1 のとき: af(1) = (-1)^(1-1) 1! = (-1)^0 1 = 1 1 = 1
n = 2 のとき: af(2) = (-1)^(2-1) 1! + (-1)^(2-2) 2! = (-1)^1 1 + (-1)^0 2 = -1 1 + 1 2 = 1
n = 3 のとき: af(3) = (-1)^(3-1) 1! + (-1)^(3-2) 2! + (-1)^(3-3) 3! = (-1)^2 1 + (-1)^1 2 + (-1)^0 6 = 1 1 - 1 2 + 1 6 = 5
n = 4 のとき: af(4) = (-1)^(4-1) 1! + (-1)^(4-2) 2! + (-1)^(4-3) 3! + (-1)^(4-4) 4! = (-1)^3 1 + (-1)^2 2 + (-1)^1 6 + (-1)^0 24 = -1 1 + 1 2 - 1 6 + 1 * 24 = 19
このように計算される交互階乗は、小さい順に並べると 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019, ... となります。これはオンライン整数列大辞典ではA005165として登録されています。
交互階乗は、別の簡単な計算方法でも求めることができます。次の項 af(n) は、その前の項 af(n-1) を使って計算できる漸化式が存在します。
af(n) = n! - af(n-1)
ただし、最初の項 af(1) は 1 です。例えば、af(3) を計算する場合、af(3) = 3! - af(2) となります。af(2) は1ですから、af(3) = 6 - 1 = 5 となり、定義式で計算した結果と一致します。同様に af(4) = 4! - af(3) = 24 - 5 = 19 となります。この漸化式は、交互階乗の各項を効率的に計算するのに役立ちます。
交互階乗にはいくつかの興味深い性質があります。まず、すべての交互階乗は奇数となります。また、n番目の階乗数 n! と n番目の交互階乗 af(n) との間には、常に互いに素である、つまり最大公約数が1であるという関係が成り立ちます。
交互階乗の性質の中でも特に注目されているのは、その素数性です。素数となる交互階乗、すなわち af(n) が素数となる n は、無限に存在するのか、それとも有限個なのかという問題は、長らく数学者たちの関心を集めてきました。
この問いに対する答えは、1999年に数学者 Miodrag Zivković によって与えられました。彼は、素数となる交互階乗の個数は有限であることを証明しました。その証明は、ある特定の大きな n の値、具体的には n = 3612702 において、af(n) が 3612703 という素数で割り切れることを示したことに基づいています。さらに彼は、すべての n ≧ 3612702 に対して、af(n) が必ず 3612703 で割り切れることを証明しました。これは、3612702以降の交互階乗はすべて3612703の倍数である合成数となることを意味します。したがって、素数となりうる交互階乗は、nが3612702未満の場合に限られることになります。
現在までに、af(n) が素数または確率的素数となることが知られている n の値は以下の通りです。
これらの n の値に対応する交互階乗は、素数であるか、非常に大きな素数である可能性が高い（確率的素数）と考えられています。このリストはオンライン整数列大辞典ではA001272として登録されています。
このリストの中で、af(661) は、2024年現在知られている交互階乗素数の中で最も大きなものです。ただし、3612702未満の n の値で、まだ発見されていない交互階乗素数が存在する可能性は排除できません。素数の探索は計算能力の向上と共に進められており、新たな交互階乗素数が見つかる可能性もゼロではありませんが、その総数が有限であることは既に証明されています。
交互階乗は、階乗という基本的な概念から生まれる数列でありながら、漸化式による定義、奇数性や互いに素といった性質、そして何よりも素数が有限個であるという珍しい特徴を持つ、数学的に非常に興味深い対象と言えるでしょう。
その定義式は以下のように表されます。
af(n) = Σ[i=1 to n] (-1)^(n-i) i!
この式は、i=1 の項に (-1)^(n-1) を、i=2 の項に (-1)^(n-2) を、...、i=n の項に (-1)^(n-n) = (-1)^0 = 1 を掛けたものを合計するという意味です。
例として、いくつか交互階乗の計算を見てみましょう。
n = 1 のとき: af(1) = (-1)^(1-1) 1! = (-1)^0 1 = 1 1 = 1
n = 2 のとき: af(2) = (-1)^(2-1) 1! + (-1)^(2-2) 2! = (-1)^1 1 + (-1)^0 2 = -1 1 + 1 2 = 1
n = 3 のとき: af(3) = (-1)^(3-1) 1! + (-1)^(3-2) 2! + (-1)^(3-3) 3! = (-1)^2 1 + (-1)^1 2 + (-1)^0 6 = 1 1 - 1 2 + 1 6 = 5
n = 4 のとき: af(4) = (-1)^(4-1) 1! + (-1)^(4-2) 2! + (-1)^(4-3) 3! + (-1)^(4-4) 4! = (-1)^3 1 + (-1)^2 2 + (-1)^1 6 + (-1)^0 24 = -1 1 + 1 2 - 1 6 + 1 * 24 = 19
このように計算される交互階乗は、小さい順に並べると 1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019, ... となります。これはオンライン整数列大辞典ではA005165として登録されています。
交互階乗は、別の簡単な計算方法でも求めることができます。次の項 af(n) は、その前の項 af(n-1) を使って計算できる漸化式が存在します。
af(n) = n! - af(n-1)
ただし、最初の項 af(1) は 1 です。例えば、af(3) を計算する場合、af(3) = 3! - af(2) となります。af(2) は1ですから、af(3) = 6 - 1 = 5 となり、定義式で計算した結果と一致します。同様に af(4) = 4! - af(3) = 24 - 5 = 19 となります。この漸化式は、交互階乗の各項を効率的に計算するのに役立ちます。
交互階乗にはいくつかの興味深い性質があります。まず、すべての交互階乗は奇数となります。また、n番目の階乗数 n! と n番目の交互階乗 af(n) との間には、常に互いに素である、つまり最大公約数が1であるという関係が成り立ちます。
交互階乗の性質の中でも特に注目されているのは、その素数性です。素数となる交互階乗、すなわち af(n) が素数となる n は、無限に存在するのか、それとも有限個なのかという問題は、長らく数学者たちの関心を集めてきました。
この問いに対する答えは、1999年に数学者 Miodrag Zivković によって与えられました。彼は、素数となる交互階乗の個数は有限であることを証明しました。その証明は、ある特定の大きな n の値、具体的には n = 3612702 において、af(n) が 3612703 という素数で割り切れることを示したことに基づいています。さらに彼は、すべての n ≧ 3612702 に対して、af(n) が必ず 3612703 で割り切れることを証明しました。これは、3612702以降の交互階乗はすべて3612703の倍数である合成数となることを意味します。したがって、素数となりうる交互階乗は、nが3612702未満の場合に限られることになります。
現在までに、af(n) が素数または確率的素数となることが知られている n の値は以下の通りです。
- - 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164
これらの n の値に対応する交互階乗は、素数であるか、非常に大きな素数である可能性が高い（確率的素数）と考えられています。このリストはオンライン整数列大辞典ではA001272として登録されています。
このリストの中で、af(661) は、2024年現在知られている交互階乗素数の中で最も大きなものです。ただし、3612702未満の n の値で、まだ発見されていない交互階乗素数が存在する可能性は排除できません。素数の探索は計算能力の向上と共に進められており、新たな交互階乗素数が見つかる可能性もゼロではありませんが、その総数が有限であることは既に証明されています。
交互階乗は、階乗という基本的な概念から生まれる数列でありながら、漸化式による定義、奇数性や互いに素といった性質、そして何よりも素数が有限個であるという珍しい特徴を持つ、数学的に非常に興味深い対象と言えるでしょう。
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