交項級数

交項級数（交代級数）詳解

解析学において、交項級数（交代級数）とは、項の符号が正と負を交互に繰り返す無限級数のことを指します。一般式は、

∑_(n=0)^∞ (-1)^n a_n (a_n ≥ 0 または a_n ≤ 0)

で表されます。ここで、a_n は各項の絶対値を表す非負の数列です。有限項の場合には、交代和と呼ばれます。

例と基本的な性質

代表的な例として、調和級数の交代級数である以下の級数が挙げられます。

∑_(n=1)^∞ (-1)^(n+1) (1/n)

この級数は、ln2 に収束することが知られています。一方、各項の絶対値をとった級数

∑_(n=1)^∞ (1/n)

は、発散する調和級数として有名です。この例は、絶対収束が級数の収束のための十分条件ではあるものの、必要条件ではないことを示しています。絶対収束は、収束条件としては厳しすぎるということです。

ライプニッツの定理

実数項を持つ交項級数の収束判定には、ライプニッツの定理が用いられます。この定理は、「数列 {a_n} が単調減少で 0 に収束するならば、級数 ∑_(n=0)^∞ (-1)^n a_n は収束する」というものです。数列 {a_n} が単調増加の場合も、全体に -1 を掛けることで単調減少の場合に帰着できますので、「数列 {a_n} が単調に 0 に収束する」という表現も可能です。

収束性の証明

交項級数 ∑_(n=0)^∞ (-1)^n |a_n| の項の絶対値が単調減少で 0 に収束する、つまり

≥ ... → 0

を満たす場合を考えます。部分和 s_N を

s_N = ∑_(k=0)^N a_k

と定義すると、部分和の列 {s_N} はコーシー列となります。具体的には、部分和の偶数番目の項からなる部分列 {s_2n} と奇数番目の項からなる部分列 {s_2m-1} は、それぞれ有界な単調列となるため、有限な値に収束します。そして、

lim_(n→∞) s_2n - lim_(m→∞) s_2m-1 = lim_(n→∞) (s_2n - s_2n-1) = lim_(n→∞) a_2n = 0

が成り立ち、これら二つの部分列は共通の極限値 S を持ちます。この S が級数の和となります。

誤差評価

級数の和 S と部分和 s_N の誤差は、


と評価できます。これは、残りの項の絶対値の和が a_N+1 で抑えられることを意味しています。

関連事項

級数
ライプニッツの公式
* 1 - 2 + 3 - 4 + ...

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