位相的エントロピー

位相的エントロピーの概要

位相的エントロピー（いそうてきエントロピー）は、力学系における不変量で、1965年にアドラー、クロンハイム、マカンドルーによって導入されました。この概念は、システムの複雑さを定量的に評価するために使用され、特にコンパクトな離散力学系に適用されます。

開被覆による定義

対象となるコンパクト離散力学系を
$$(X,f)$$ とすると、ここで $X$ はコンパクト位相空間で、$f: X o X$ は連続写像です。まず、開被覆に関連する記号を導入します。いくつかの開被覆 $eta$ と $eta$ を考えると、これらの共通細分は、次のように定義されます。

$$egin{align}
ext{共通細分 } ilde{eta} &= egin{cases} A igcap B ext{ で } A ext{ は } eta, B ext{ は } eta ext{ の元とする。} \
ext{すなわち } ilde{eta} = igcup_{A ext{ in } eta, B ext{ in } eta} A igcap B.
ext{ }
ext{ }
ext{ }
ext{ }
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ext{ }
ext{ }
ext{ } \ ext{連続写像 } f^{-1}(eta) &= ext{ この場合も $X$ の開被覆となる。}
ext{ }
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ext{ }
ext{ }
ext{ }

$$

このようにして、位相的エントロピーを定義するための準備が整いました。

位相的エントロピーの計算

ここで、開被覆 $eta$ の有限部分被覆の濃度の最小値を $N(eta)$ と定義します。このとき、開被覆 $eta$ に関連するエントロピー $H(eta)$ は次のように表されます。

$$H(eta) = ext{log}_2(N(eta))$$

次に、次の極限を考えます。

$$ ext{lim}_{n o ext{∞}} rac{1}{n} Higg(eta igvee f^{-1}(eta) igvee ext{⋯} igvee f^{-(n-1)}(eta)igg)$$

この極限は必ず存在し、これを $h(f, eta)$ として、開被覆 $eta$ における連続写像 $f$ に関連するエントロピーとします。

コンパクト離散力学系における位相的エントロピー

コンパクト離散力学系 $(X, f)$ の位相的エントロピー $h(f)$ は、次のように定義されます。

$$h(f) = ext{sup}_{eta} h(f, eta)$$

ここでは、上限を取る対象は全ての開被覆の集合です。これにより、位相的エントロピーはその力学系の複雑さを測る重要な指標となります。

まとめ

位相的エントロピーはシステムの動的な特性に関する洞察を提供します。この概念は、数理的な解析や、様々な力学システムの理解において重要な役割を果たしています。特に、複雑な挙動を示すシステムを研究する際には、この不変量が非常に有用です。

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