光円錐

光円錐

相対性理論、特に特殊相対性理論および一般相対性理論において、光円錐（こうえんすい、英: light cone） は、時空上の特定の点（事象）から放たれた光があらゆる方向へ進む際に描く、時空上の軌跡を指します。これは、時空の幾何学と、そこに存在する事象間の因果関係を理解するための基本的な概念です。光速が宇宙における物理的な影響伝達の最大速度であるという原理に基づき、どの事象が他の事象に影響を与えうるかを視覚的に示します。

この概念を把握するため、空間を二次元に、時間を一次元に制限したモデルを考えます。ある事象（時空上の点）で閃光が発生したとすると、その光は時間とともに同心円状に広がります。時間の軸を加えると、この広がりは円錐形を描きます。これを「未来光円錐」と呼び、事象から放たれた光が到達する未来の全ての点を表します。時間を逆向きに考えると、光が過去から特定の事象に到達する軌跡も同様に円錐形を描き、「過去光円錐」と呼びます。これは、ある事象が過去に受け取ることができた光信号の起源を示します。実際の空間は三次元ですが、理解のために二次元空間+時間軸で考えるのが一般的です。厳密には、光円錐は四次元時空上の超円錐です。

光円錐は、時空座標 (x,y,z,t) を用いて数式で表すことができます。光速を c とすると、原点 (0,0,0,0) で起こった事象からの光が到達する点 (x,y,z,t) は、以下の式を満たします。







x

2


+

y

2



+

z

2


−
(
c
t

)

2


=
0





これは、光が進んだ空間距離の二乗と時間距離の二乗が等しいことを示しています。

因果関係の境界線

光速が宇宙での情報伝達の上限速度であるという事実は、光円錐が事象間の因果律を定める境界となることを意味します。

ある事象 E を基準点としたとき、その過去光円錐の内部および表面にある事象は、光速以下の速度で伝わる信号や影響を事象 E へと送ることが可能です。つまり、過去光円錐は、事象 E の原因となりうる過去の出来事が存在する時空領域を示します。この領域の外にある過去の事象は、物理的な影響をEに与えることはできません。

同様に、事象 E の未来光円錐の内部および表面にある事象は、事象 E から光速以下の速度で伝わる信号や影響を受け取ることが可能です。したがって、未来光円錐内は、事象 E が原因となって引き起こされる結果として影響を受ける可能性のある未来の出来事が存在する時空領域を示します。

光円錐の外側にある全ての事象は、事象 E との間に光速での通信さえ不可能な関係にあり、「絶対他所 (elsewhere)」と呼ばれます。光円錐の外にある事象同士は、互いに因果的に無関係です。

特殊相対性理論における構造

平坦な時空（ミンコフスキー時空）では、光円錐（ヌル円錐とも）は、特定の事象から発せられた閃光が描く境界線となります。これは空間2次元と時間1次元を用いた三次元図で視覚化され、文字通りの円錐形を呈します。

事象 p を光パルスの放出元と見なせば、その未来光円錐はパルスが到達可能な全時空点、過去光円錐はパルスを送ることで p に到達できる全時空点です。光円錐上にある事象は基準事象と光速で、内側にある事象は光速より遅い速度で因果的に繋がり得ます。外側の「他所」にある事象は因果的に無関係です。この因果的な分類は、観測者がどの慣性系にいても普遍的に成り立ちます。

時間が進むにつれて、未来光円錐が囲む時空領域は拡大します。ある時刻での空間的な断面は時間が経つほど大きくなります。過去光円錐も時間を遡るにつれて領域を広げます。これは、遠い場所にある事象からの光ほど、現在の事象に到達するのに長い時間を要したことを示唆しています。

特殊相対性理論では光速 c が不変なため、光速を1とする単位系を用いると、時空図における光円錐の境界線は時間軸に対して常に45°の傾きを持ちます。全ての観測者にとってこの傾きは一定です。

一般相対性理論における光円錐

平坦な時空では光円錐は因果的未来/過去の厳密な境界ですが、物質やエネルギーによって時空が歪められる一般相対性理論においては、光円錐の形状と向きは時空の曲率に応じて局所的に変化します。

曲がった時空では、各点における光円錐の傾きは一定ではなく、時空の歪みを反映します。また、非常に強い重力場の下では、光円錐の一部が内側に歪む（重力レンズ効果のような影響）ことがあり、その結果、光円錐の一部が因果的未来/過去の境界ではなく、その内部を示すようになる場合もあります。

一般相対性理論においても、光円錐は時空の各点における因果構造を示す基本的な要素であり、時空の幾何学と事象間の因果関係を結びつける上で不可欠な概念です。

もう一度検索